$m$ es un cuadrado perfecto si $m$ tiene un número impar de divisores?

Question

¿Es esto una prueba de que $m$ es un cuadrado perfecto si $m$ tiene un número impar de divisores correcto?

$\Rightarrow)$ Si $m$ es un cuadrado perfecto hay un $x$ tal que $x = m/x$ . El resto de los divisores vienen en pares $d, m/d$ Así que $m$ tiene un número impar de divisores.

$\Leftarrow)$ De nuevo, los divisores vienen en pares $m, m/d$ Si hay un número impar de divisores, entonces necesariamente $m/d = d$ para algún divisor $d$ Así que $m$ es un cuadrado.

Answer 1

Dejemos que $\tau(n)$ sea el número de divisores de $n$ .

Sabemos que $\tau$ es multiplicativo (es decir, $\tau(nm)=\tau(n)\tau(m)$ cuando $(m,n)=1$ ) ya que $\tau(mn)=\sum_{d|mn}1=(\sum_{d|m}1)(\sum_{b|n}1)=\tau(m)\tau(n)$ siempre que $m$ y $n$ son relativamente primos.

Para un primo arbitrario, tenemos $\tau(p^e)$ contando las potencias primarias de $p$ menor o igual a $e$ . Es decir, los divisores de $p^e$ son $1,p,...,p^e$ de los cuales hay claramente $e+1$ .

Como sabemos $\tau$ es multíplice podemos decir que para cualquier $n$ que $\tau(n)=\tau(p_1^{e_1})\tau(p_2^{e_2})...\tau(p_k^{e_k})$ donde $n=p_1^{e_1}...p_k^{e_k}$ es la factorización primaria de $n$ . A partir de nuestra fórmula anterior, tenemos $\tau(n)=(e_1+1)(e_2+1)...(e_k+1)$ . Así que $\tau(n)$ es impar si y sólo si $(e_i+1)$ es impar para todos $i$ . Esto se cumple si y sólo si $e_i$ es par, es decir, $e_i=2a_i$ para todos $i$ . Entonces, claramente $n=p_1^{2a_1}...p_k^{e2a_k}=(p_1^{a_1}...p_k^{a_k})^2$ es un cuadrado perfecto.

Answer 2

Digamos que $m=p_1^{x_1} p_2^{x_2}\dots p_n^{x_n}$ (todo número puede expresarse de esa forma) donde $p_1,p_2,\dots ,p_n$ son números primos.

Ahora, para que m sea un cuadrado perfecto, todo $x_1,x_2,\dots ,x_n$ deben ser números pares.

Y ahora podemos encontrar el número de divisores de m , y que es igual a $N(m)=(x_1+1)(x_2+1)\dots(x_2+1)$

$N(m)$ es la multiplicación del número impar $\therefore$ su valor también es impar.