Geodesics a Través de una Singularidad

Question

Una singularidad en un colector con métrica se define como un punto en el que algunos geodésica no puede ser seguido a través de. Por ejemplo, en Schwarzchild el espacio-tiempo, $r=0$ define un punto.

Es el caso de que cualquier geodésica que golpea a una singularidad no puede ser continuado pasado? Esto es obviamente cierto para el Schwarzchild solución. Sin embargo, me preocupa que tal vez eso es sólo un artefacto de la simetría de la situación. No hay nada en la definición de una singularidad que se refiere a una arbitraria geodésica a través de ese punto.

He tratado de pensar acerca de esto mismo, pero no estoy seguro de tener el requisito de la geometría diferencial a resolver. Yo no puede ver lo (decir) la de Hopf-Rinow teorema, o los relacionados con los resultados ayuden!

Sería genial conseguir un matemático de la perspectiva sobre esta cuestión. Disculpas si la solución si obvio y me estoy perdiendo algo!

Answer 1

Usted puede considerar el producto de espacios:

Por ejemplo supongamos $C$ ser una de dos dimensiones de cono con una singularidad en la punta, que se denota p. Si se considera el espacio del producto $\mathbb R \times C$ equipada con el producto métrica (donde $\mathbb R$ lleva el estándar métrico) el punto de $(0,p)$ va a ser singular, pero, por ejemplo, de la línea geodésica $t \mapsto (t,p)$ cruza.

Answer 2

Una métrica en el plano con un cono singularidad a decir el origen con ángulo total $>2\pi$ alrededor ilustra el punto. El problema es la no unicidad de la continuación de la línea geodésica golpear el origen. Cualquier continuación de la que forma un ángulo de $\geq\pi$ a "ambos lados" puede legítimamente considerarse una geodésica (tanto localmente como la minimización de las propiedades, por ejemplo).