Forma canónica racional sobre campo finito

Question

Dejemos que $\phi: F_{p^n} \to F_{p^n}$ sea un operador lineal (donde $F_{p^n}$ se considera un espacio vectorial sobre $F_p$ ) dado por $x \mapsto x^p.$ En un ejercicio anterior demostramos que $\phi^n = I$ y que ninguna potencia inferior de $\phi$ es la identidad.

Entonces se nos pide que demos la forma canónica racional de $\phi$ en $F_p.$ Estoy luchando por averiguar cuál es el polinomio mínimo, sospecho que es $x^n-1$ pero no he podido probarlo. Esto es lo que he probado hasta ahora:

Conocemos el polinomio mínimo $m(x)$ divide $x^n-1.$ Dejemos que $n= p^kr$ donde $r$ es relativamente primo de $p.$ Entonces

$$x^n-1 = x^{p^kr} - 1 = (x^r-1)^{p^k}$$

así que $m(x) | (x^r -1)^{p^k}.$ Ahora sé que

$$m(x) = (x^r-1)^l$$ donde $l>p^{k-1}$ ya que si $l \leq p^{k-1}$ entonces podríamos multiplicar $m(x)$ sea el factor adecuado para obtener

$$m(x)p(x) = (x^r - 1)^{p^{k-1}} = x^{p^{k-1}} - 1.$$

y como $\phi$ satisface $m(x)$ satisface el lado derecho que es una contradicción con $n$ siendo la menor potencia de $\phi$ que es la identidad. Aquí es donde se me acaban las ideas y parece que no puedo mostrar $m(x) = x^n-1.$ Quizá no sea el polinomio mínimo, pero entonces parece que las posibilidades de los factores invariantes se complican mucho.

¿Podría alguien orientarme?

Gracias.

Answer 1

Tenemos que $\,\phi^n=I\Longrightarrow \phi^n-I=0\Longrightarrow\,$ el polinomio $\,f(x)=x^n-1\,$ es el polo característico de $\,\phi\,$ ya que es mónico y tiene grado igual a $\,n=\dim\Bbb F_{p^n}\,$ en $\,\Bbb F_p\,$ (y $\,\phi\,$ se desvanece en él, por supuesto).

Ahora, para cualquier $\,k<n\,$ veamos el polinomio

$$t(x):=\sum_{j=0}^ka_jx^{p^j}\in\Bbb F_p[x]$$

Si $\,\phi\,$ es un cero de $\,t(x)\,$ , entonces para todos los $\,u\in\Bbb F_{p^n}\,$ .

$$0=t(\phi)=\sum_{j=0}^ka_k\phi^{p^j}(u)=\phi\left(\sum_{j=0}^ka_ku^{p^j}\right)\iff \sum_{j=0}^ka_ku^{p^j}=0$$

la última igualdad que sigue ya que el mapa de Frobeniux es un automorfismo, y entonces todo el $\,p^n\,$ elementos de $\,\Bbb F_{p^n}\,$ son raíces de una pol. de grado $\,p^k<p^n\,$ ¡Y esto es imposible sobre un campo!

Se deduce que el polinomio mínimo de $\,\phi\,$ debe ser de grado $\,n\,$ y por lo tanto debe sea $\,f(x)\,$ sí mismo.

Answer 2

Un fácil argumento de inducción demuestra que para $v\in F_{p^n},$ $\varphi^r(v) = v^{p^r}.$ Ahora dejemos que $f(x) = a_0 + a_1x + \cdots a_kx^k$ sea un polinomio sobre $F_{p}$ de grado $k<n$ y supongamos para una contradicción que $\varphi$ satisface $f.$ Entonces, para todos los $v\in F_{p^n}$ tenemos $$0 = f(\varphi) = \sum_{j=0}^k a_j\phi^j(v) = \sum_{j=0}^k a_j v^{p^j}$$

Pero entonces todo $p^n$ elementos de $F_{p^n}$ satisfacen un polinomio de grado $p^k < p^n$ que es imposible. Así, $\varphi$ no puede satisfacer ningún polinomio de grado inferior a $n.$ Esto demuestra que $x^n-1$ es el polinomio mínimo de $\varphi$ y como también es el polinomio característico tenemos que $x^n-1$ es el único factor invariante que da la siguiente forma canónica racional,

$$ \left[\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 1 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & 1 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots &\vdots &\ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \end{array}\right]. $$