Caracterización de los principales ideales en un dominio de ideal principales

Question

En el álgebra conmutativa de la wiki, una tabla de propiedades de las listas que

"para un PID, el principal ideales coinciden con los poderes del primer ideales".

Jugué un rato con él, no podía producir una prueba, y se han de buscar alrededor para una prueba, ya que estoy seguro de que este es un estándar de hecho. No he podido encontrar una referencia en línea. Por favor alguien puede dar una prueba o referencia de donde puedo leer este tipo de prueba?

Answer 1

Usted puede identificar a un ideal con su generador. Tenga en cuenta que $x \in (a)$ si y sólo si $a\mid x$. Supongamos $a=p^n$. Si $x \notin (a)$ pero $xy \in (a)$, ya que el $p^n \mid xy$ obtenemos $p\mid y$, por lo tanto $p^n\mid y^n$, e $y^n \in (a)$.

Si $a=p^aq^bc$ donde $c$ es cualquier elemento del anillo coprime a los números primos $p$ y $q$, $p\ne q$, a continuación, vamos a $x=p^a$$y=q^bc$. A continuación, $xy\in (a)$ pero $x^n$ $y^n$ no $(a)$ cualquier $n$.

Answer 2

Sugerencia $\ $ Pelar los factores primos de un elemento $\ne 0$ $\rm\:\! J = (j)\:$ hasta sólo un primer $\rm\:q\:$ sigue siendo, a través de

$$\rm\ j\ |\ p^n\: x,\ \ j\nmid p^n\ \Rightarrow\ \ j\ |\ x^k \ \Rightarrow\ \cdots\ \Rightarrow\ \ j\ |\ q^m,\quad p,\:q\ \ prime$$

Más en general, una similar a prueba muestra que el radical de un principal ideal es principal.