Universo Von Neumann $$V:=\bigcup_{\alpha \in Ord}V_\alpha$$ , en el que $$V_{\alpha+1}=\wp(V_\alpha)$$ y $$V_\alpha=\bigcup_{\xi<\alpha}V_\alpha$$ para ordinales límite.
Mi pregunta : Es $V$ ¿equipotente a la clase ordinal Ord? Tenga en cuenta que ambos son de clase propia, por lo tanto, parece que no tienen cardinalidad, pero parece biyecciones (parece de clase propia también) todavía se puede construir ...
Esta es la axioma de elección global . Supongamos que existiera una fórmula $\varphi(x,y)$ definiendo una biyección de clase desde $\mathbf{ON}$ a $V$ Entonces $V$ tendría un buen orden global y satisfaría una forma fuerte del axioma de elección. Por lo tanto, una fórmula de este tipo no es demostrable en $\mathsf{ZF}$ o incluso en $\mathsf{ZFC}$ .
El axioma de la elección global se desprende de $V=L$ .
La afirmación " $V$ está en biyección con $\sf Ord$ "es equivalente al axioma de elección global, es decir, existe una función de elección en cada clase de conjuntos no vacíos.
Esto es coherente con ZFC, por ejemplo en un modelo del axioma $V=L$ (el universo construible) este axioma es verdadero, pero es consistente que el axioma falle. La construcción (que tengo en mente) de un contraejemplo puede ser un poco técnica, ya que implica forzar clases.
Pero la cuestión es que esto es coherente con ZFC, pero no es demostrable a partir de ZFC.
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