Donde es $f(x) := \sum_{n=1}^\infty \frac{\langle nx\rangle}{n^2+n}$ discontinua?

Question

Deje $\langle x\rangle$ denotar la parte fraccionaria de $x\in \mathbb{R}$, i.e. $\langle x\rangle := \inf \{ x-k: k\in \mathbb{Z}, k\leq x \}$.

1. Definir $$f(x) := \sum_{n=1}^\infty \frac{\langle nx\rangle}{n^2+n}.$$ What is the domain of $f$?
2. Es $f$ Riemann integrable en cualquier intervalo acotado? Si es así, evaluar $\int_0^1 f(x)dx$.
3. Encontrar todos los puntos donde $f$ es discontinuo.

Estoy de acuerdo con #1 y #2...creo que la respuesta a #3 $\mathbb{Q}$, pero esta respuesta sugiere que la función es continua en los enteros. No veo ninguna razón por la que sería. ¿Qué te parece?

Answer 1

La "fracción" de la función $$ \{\,\} : \mathbb{R} \a [0,1),\quad x \mapsto \{ x\}:=x-\lfloor x\rfloor $$ obviamente es discontinua en cada punto entero.

De hecho, desde la $\{\,\}$ $1$- periódico, es suficiente para mostrar que es discontinua en a $1$. Para $\varepsilon>0$ lo suficientemente pequeño como hemos \begin{eqnarray} \{1+\varepsilon\}&=&1+\varepsilon-\lfloor 1+\varepsilon\rfloor=1+\varepsilon-1=\varepsilon\\ \{1-\varepsilon\}&=&1-\varepsilon-\lfloor 1-\varepsilon\rfloor=1-\varepsilon-0=1-\varepsilon. \end{eqnarray} Por lo tanto $$ \lim_{x\to 1-}\{x\}=\lim_{\varepsilon\to0+}(1-\varepsilon)=1\ne0=\lim_{\varepsilon\to0+}\varepsilon=\lim_{x\to1+}\{x\}. $$

Si $n \in \mathbb{N}$, entonces la función $$ u_n:\mathbb{R} \a [0,1),\quad x\mapsto \{nx\} $$ es discontinua en todos los puntos de la forma $\frac{k}{n}$ donde $k \in \mathbb{Z}$.

Desde $$ f=\sum_{n=1}^\infty \frac{u_n}{n^2+n}, $$ de ello se desprende que $f$ es discontinua en todos los puntos de la forma $\frac{k}{n}$ donde $n\in \mathbb{N}$, e $k\in \mathbb{Z}$, es decir, $f$ es discontinua en todos los puntos de $\mathbb{Q}$.

Answer 2

Cada irracionales punto es un punto de continuidad. Deje $\alpha\in\Bbb R$ ser irracional. Cada función $$f_n:\Bbb R\to \Bbb R, x\mapsto\frac{\langle nx\rangle}{n^2+n}$$ is continuous at $\alfa$. The series $$\sum f_n$$ is clearly normally convergent on $\Bbb R$, whence continuity at $\alpha$.

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Cada racional point es un punto de discontinuidad. Deje $p/q$ ser racional (con $q$ positivo.) Fix $N>>q$ tal que $$\sum_{n> N}\frac{1}{n^2+n}<\frac{1}{2(q^2+q)}$$ La función $$\sum_{1\leq n\leq N} f_n$$ experiencias de una discontinuidad en $p/q$, en concreto, de su valor cae (al menos) por $\frac{1}{q^2+q}$ al pasar de $(p/q)^-$$(p/q)^+$. Por definición de $N$, esta caída es demasiado grande para el resto $$\sum_{n> N}f_n$$ para compensar, y por lo $\sum f_n$ es discontinua en a $p/q$.