Suma de infinitos términos de$\cot^{-1}(2)+\cot^{-1}\bigl(\frac{9}{2}\bigr)+\cot^{-1}(8)+\cot^{-1}\bigl(\frac{25}{2}\bigr)+\cot^{-1}(18)+...$

Question

¿Cómo podemos encontrar la suma de los términos infinitos de la serie?$$\cot^{-1}(2)+\cot^{-1}\biggl(\frac{9}{2}\biggr)+\cot^{-1}(8)+\cot^{-1}\biggl(\frac{25}{2}\biggr)+\cot^{-1}(18)+ \dots$ $

La diferencia de argumento está en AP, pero no parece ser valioso. ¿Podría alguien dar alguna pista?

Answer 1

Del mismo modo como en Encontrar la suma de los Trignomertric de la serie, puede utilizar la identidad $$ \DeclareMathOperator{\arccot}{arccot} \arccot(x) - \arccot(y) = \arccot\left(\frac{xy+1}{y-x}\right) $$ a la conclusión de que $$ \arccot \frac{n+2}{n} - \arccot \frac{n}{n-2} = \arccot \frac{n^2}{2} $$ que permite a escribir su serie como una suma de dos telescópico de la serie.

Answer 2

INSINUACIÓN:

La serie se puede escribir

ps

Entonces, tenga en cuenta que

ps

como $$\sum_{n=2}^\infty \text{arccot}\left(\frac{n^2}{2}\right) \tag 1$

ALERTA DE SPOILER: desplácese sobre el área resaltada para revelar la solución

Desde$$\text{arccot}(x)=\frac1x+O\left(\frac{1}{x^3}\right) \tag 2$ y$x\to \infty$, vemos que la serie converge en comparación con$(1)$. Entonces, podemos escribir los sumandos como$(2)$$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2}$$$\text{arccot}\left(\frac{n^2}{2}\right)=\text{arccot}\left(\frac{n+2}{n}\right)-\text{arccot}\left(\frac{n}{n-2}\right)$ $