alguien me puede ayudar a resolver esto $x^{x^{3}}=3$ ?

Question

Hallar el valor de $x$ : $x^{x^{3}}=3$

Empaté con "log" pero no pude. ¿alguna ayuda?

Answer 1

Pista: $\large (\sqrt[3]{3})^3=3{}{}$ .

Answer 2

Un buen primer paso hacia la solución es aumentar la simetría del LHS: si cubicas $x^{x^3}$ se obtiene $x^{3x^3}$ que es $(x^3)^{x^3}$ . ¡Simetría! Como al cubicar el lado derecho se obtiene $3^3$ es fácil encontrar la solución. $x^3=3$ .

Answer 3

Considere $$x^{x^b}=a :x>0$$

tomar registro para ambos lados: $$x^b\log x=\log a$$

deje $e^t=x$

$$e^{bt}t=\log a$$ $$e^{at}bt=b\log a$$ así que

$$bt=W(b\log a)$$

$$t=\frac{W(b\log a)}{b}$$

$$x=e^{\frac{W(b\log a)}{b}}$$

donde $W(R)$ es Lambert W función

para $a=b=3$

$x \approx 1.44225 $

otro intento: $${\color{Red} c}=x^c \Rightarrow x=\sqrt[c]{c}$$

$$\Rightarrow x^{{\color{Red} {x^c}}}=c$$

$$ \Rightarrow x=\sqrt[c]{c}$$

Answer 4

Supongamos que el dominio es $(0,\infty)$ . Se muestra la ecuación $x^{x^3} = 3$ tiene una única solución real $x = \sqrt[3]{3}$ . Mira la función: $f(x) = x^3\ln x , 0 < x < \infty$ . Si $0 < x < 1 \Rightarrow x^3\ln x < 0$ Así que $x^3\ln x < \ln 3$ ya que $\ln 3 > 0$ . Así: $e^{x^3\ln x} < e^{\ln 3}\Rightarrow x^{x^3} < 3$ . Y para $ 1\leq x <\infty$ la función $f(x) = x^3\ln x$ tiene $f'(x) = 3x^2\ln x+ x^2 = x^2(3\ln x + 1) > 0$ . Esto significa que la ecuación $x^{x^3} = 3$ sólo puede tener $1$ solución en $[1,\infty)$ . Observe que $x = \sqrt[3]{3}$ es una solución, y por lo tanto es la única solución.