¿Cómo encontrar esta integral?

Question

Intento encontrar la integral

$$\oint_c Re(z)\;dz$$ donde c es un círculo $$|z|=2$$

No sé qué hacer.

He probado algunas cosas pero no sé si estoy en lo cierto. $e^{i\theta} = \cos \theta +i \sin \theta$ Así que $Re(z) = \cos \theta$ ? Y entonces $$\int_0^{2\pi} 2\cos \theta i e^{i\theta}\;d\theta$$

Alguien me puede explicar un poco lo que pasa porque estoy intentando entenderlo hace 2 horas y me estoy poniendo nerviosa.

Answer 1

Pista: Este es el enfoque correcto, le falta un factor de $2$ . Esto se debe a que en el círculo $|z|=2$ podemos parametrizarla fijando $z=2e^{i\theta}$ y luego $\text{Re}(z)=2\cos \theta$ y $dz=2ie^{i\theta}.$ La integral es $$4i\int_0^{2\pi} \cos(\theta)e^{i\theta}d\theta,$$ y podemos reescribir $\int_0^{2\pi} \cos(\theta)e^{i\theta}d\theta$ como $$\int_0^{2\pi} \cos^2(\theta)d\theta+i\int_0^{2\pi} \cos(\theta)\sin(\theta)d\theta$$ utilizando $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ . La segunda integral es cero por simetría, y la primera es igual a $\pi$ . Para ver por qué es igual a $\pi$ Obsérvese que, por simetría, es $\int_0^{2\pi}\sin^2(\theta)d\theta$ de modo que sumándolas se obtiene el doble de la integral, que es $$\int_0^{2\pi}\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)d\theta=\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi.$$ Las sustituciones habituales también habrían funcionado. Así se obtiene $4\pi i$