Ejemplos de categorías de Waldhausen.

Question

La construcción wS de Waldhausen de la teoría K asigna grupos K a una categoría de Waldhausen pequeña y arbitraria, mi objetivo principal al leer esta construcción era aplicarla al caso de las categorías exactas con equivalencia débilc siendo isomorfismos. Ahora mi pregunta es, ¿cuáles son los otros ejemplos de categorías de Waldhausen? ¿Se estudian seriamente sus grupos K?

Además, si no me equivoco, la categoría de objetos cofibrantes de una categoría modelo satisface los axiomas de una categoría de Waldhausen, pero puede no ser una categoría pequeña. ¿Podemos hablar de los grupos K de alguna subcategoría pequeña adecuada de dicha categoría?

Answer 1

Los ejemplos no exactos más obvios de las categorías de Waldhausen son justamente los no aditivos: una categoría de Waldhausen sólo es puntiforme. Así, el ejemplo principal de Waldhausen en su artículo original es la categoría $R(X)$ de espacios "retractivos" sobre $X$ Es decir, las retractaciones $r:Y\to X$ con la posibilidad de elegir una división $s:X\to Y$ de $r$ . Esto se señala, con objeto cero la identidad de $X$ pero ciertamente no es aditivo, por lo que Waldhausen realmente necesitaba la generalidad extra para su objetivo de definir una teoría K algebraica para espacios topológicos. Este invariante se ha estudiado intensamente, aunque, para ser justos, es posible definirlo mediante una categoría aditiva gracias a las técnicas modernas de los espectros de anillos estructurados.

La cuestión de las categorías pequeñas no es tanto para protegerse de las dificultades de la teoría de conjuntos como para evitar que todos los grupos K sean cero, debido a la llamada estafa de Eilenberg que se hace posible con coproductos contables. Así que ciertamente se quiere restringir a una subcategoría más pequeña. Lo más habitual es utilizar los objetos compactos, lo que da, por ejemplo, la categoría de complejos perfectos de Waldhausen, muy utilizada en geometría algebraica.