¿Cómo generar puntos distribuidos uniformemente en la superficie de un elipsoide?

Question

Estoy tratando de encontrar una manera de generar puntos aleatorios distribuidos uniformemente en la superficie de un elipsoide.

Si se tratara de una esfera hay una forma muy clara de hacerlo: Generar tres $N(0,1)$ variables $\{x_1,x_2,x_3\}$ calcula la distancia al origen

$$d=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$$

y calcular el punto

$$\mathbf{y}=(x_1,x_2,x_3)/d.$$

Puede demostrarse entonces que los puntos $\mathbf{y}$ se encuentran en la superficie de la esfera y se distribuyen uniformemente en la superficie de la esfera, y el argumento que lo demuestra es una sola palabra, "isotropía". No hay dirección preferida.

Supongamos ahora que tenemos un elipsoide

$$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{x_2^2}{b^2}+\frac{x_3^2}{c^2}=1$$

¿Qué le parece generar tres $N(0,1)$ como en el caso anterior, calcule

$$d=\sqrt{\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{x_2^2}{b^2}+\frac{x_3^2}{c^2}}$$

y utilizando $\mathbf{y}=(x_1,x_2,x_3)/d$ como arriba. Así obtendremos puntos garantizados en la superficie del elipsoide, pero ¿estarán uniformemente distribuidos? ¿Cómo podemos comprobarlo?

Cualquier ayuda es muy apreciada, gracias.

PD Estoy buscando una solución sin aceptar/rechazar puntos, que es algo trivial.

EDITAR:

Pasando a coordenadas polares, el elemento de superficie es $dS=F(\theta,\phi)\ d\theta\ d\phi$ donde $F$ se expresa como $$\frac{1}{4} \sqrt{r^2 \left(16 \sin ^2(\theta ) \left(a^2 \sin ^2(\phi )+b^2 \cos ^2(\phi )+c^2\right)+16 \cos ^2(\theta ) \left(a^2 \cos ^2(\phi )+b^2 \sin ^2(\phi )\right)-r^2 \left(a^2-b^2\right)^2 \sin ^2(2 \theta ) \sin ^2(2 \phi )\right)}$$

Answer 1

• Simular algunos puntos de la esfera (con dimensión arbitraria) $x_1$ , $x_2$ , $...$

• Tomemos el factor de Cholesky superior $U$ de la matriz de forma $A$ del elipsoide ( $x'Ax = r^2$ )

• Entonces la solución $Y$ de $UY = (x_1 \, x_2 \, ...)$ es una matriz de puntos uniformemente aleatorios en la superficie del elipsoide.