¿Cuándo un polinomio genera un ideal radical?

Question

Un polinomio en un anillo polinomial en una variable sobre un campo genera un ideal radical si no tiene múltiples raíces. ¿Hay una condición suficiente para que un polinomio en varias variables genere un ideal radical? Como un ideal generado por un polinomio es primordial si y solo si es irreductible.

Answer 1

Deje $k$ ser un campo y considerar el polinomio anillo de $A = k[x_1,...,x_n]$.

Reclamo: Dado $f \in A - \{0\}$, (f) es radical, si y sólo si $f$ factores en un producto de irreducibles de la multiplicidad $1$.

Prueba:

$\Leftarrow$: Sabemos $A$ es un UFD. Por lo tanto, vamos a $f = f_1...f_m$ ser un producto de la $f$ en irreducibles de factores que, para todos los $i \neq j$, $(f_i) \neq (f_j)$. A continuación, $(f) = (f_1...f_m) = (f_1) \cap ... \cap (f_m)$ (estoy usando factorización única para la segunda igualdad). Por lo tanto, $(f)$ es un punto de intersección del primer ideales de $A$ y por lo tanto radical.

$\Rightarrow$: Supongamos $(f)$ es radical. De nuevo, deje $f = {f_1}^{e_1}...{f_m}^{e_m}$ ser un producto de la $f$ en irreducibles donde $i \neq j$ $\Rightarrow$ $(f_i) \neq (f_j)$.

Nuestro objetivo es mostrar que cada una de las $e_i = 1$. Bien, supongamos que no. Entonces existe $e_i$ tal que $e_i > 1$. A continuación,$({f_1}^{e_1}...{f_i}^1...{f_m}^{e_m}) \subset (f) \subset ({f_1}^{e_1}...{f_i}^1...{f_m}^{e_m})$. La inclusión es porque ${f_1}^{e_1}...{f_i}^1...{f_m}^{e_m} \in Rad((f)) = (f)$, y el segundo, la inclusión de la siguiente manera por el hecho de que ${f_1}^{e_1}...{f_i}^1...{f_m}^{e_m}|f$.

Pero, esto significa que hay algunos $u \in A^*$ tal que ${f_1}^{e_1}...{f_i}^1...{f_m}^{e_m} = u{f_1}^{e_1}...{f_i}^{e_i}...{f_m}^{e_m}$, lo que contradice la única factorización.

Answer 2

Permita que$(p_1),\dots,(p_n)$ sean ideales primarios distintos de un dominio de factorización único, y permita que$k_1,\dots,k_n$ sean enteros positivos. Entonces, el radical de $$ (p_1 ^ {k_1} \ cdots p_n ^ {k_n}) $$ es claramente $$ (p_1 \ cdots p_n). $$