Solución única para la ecuación de reacción-difusión

Question

No puedo confirmar ni negar que solo una solución (es decir,$u\equiv 0$) satisface el siguiente problema de valor límite en$\Omega\times [0,T]\subset\mathbb{R}^{n+1}$.

\begin{cases} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}-\Delta u = -u^3, &\text{in }\Omega \\ u(x,0)=0, &x\in\Omega \\ u(x,t)=0, &x\in\partial\Omega, t>0. \end{casos}

¿Alguna sugerencia? Mis pensamientos: hay un cambio de variables que cambia la ecuación a una donde se cumple el principio máximo; supongamos que$u$ y$v$ son soluciones y consideramos alguna variación de su diferencia (por ejemplo,$u-v$,$(u-v)^2$,$e^{\frac{1}{4}(u-v)^4}$, etc.); Considera alguna energía funcional. No puedo hacer funcionar ninguna de las técnicas "estándar".

Answer 1

Una energía natural funcional es $$ E (u) = \ int_ \ Omega | u | ^ 2 \,. $$ Entonces$E(u(\cdot,0)) = 0$ y $$ \ frac {d} {dt} E (u (\ cdot, t)) = - 2 \ int_ \ Omega (| \ nabla u | ^ 2 + u ^ 4) \ le 0 $$ por integración por partes. Por lo tanto,$E(u(\cdot,t)) = 0$ para todos$t$ y$u = 0$ es la única solución.

Answer 2

Sólo para estar en el lado seguro, permítanme afirmar en primer lugar que supongo que estamos tratando con la clásica soluciones, es decir, lo suficientemente funciones diferenciables $u$ satisfactorio (1) a continuación.

A partir de la ecuación dada

$u_t - \nabla^2u = -u^3, \tag{1}$

podemos obtener, mediante la multiplicación por $u$,

$uu_t - u\nabla^2 u = -u^4; \tag{2}$

tenemos

$uu_t = \dfrac{1}{2}(u^2)_t; \tag{3}$

también tenemos

$\nabla \cdot (u \nabla u) = \langle \nabla u, \nabla u \rangle + u \nabla^2 u, \tag{4}$

a partir de la cual

$u\nabla^2 u = \nabla \cdot (u\nabla u) - \Vert \nabla u \Vert^2, \tag{5}$

desde

$\langle \nabla u, \nabla u \rangle = \Vert \nabla u \Vert^2. \tag{6}$

La inserción de (3) y (5) en (2) los rendimientos

$\dfrac{1}{2}(u^2)_t - \nabla \cdot (u \nabla u) + \Vert \nabla u \Vert^2 = -u^4; \tag{7}$

fijo $s \in [0, T]$, integramos (7) $\Omega$ y encontrar

$\dfrac{1}{2}\int_\Omega (u^2(s))_t dV - \int_\Omega \nabla \cdot \ (u(s) \nabla u(s)) dV + \int_\Omega \Vert \nabla u(s) \Vert^2 dV = -\int_\Omega (u(s))^4 dV; \tag{8}$

también,

$\int_\Omega \nabla \cdot (u(s) \nabla u(s)) dV = \int_{\partial \Omega} u(s) \nabla u(s) \cdot dS = 0, \tag{9}$

por el teorema de la divergencia y las condiciones de frontera. Tenga en cuenta que en la escritura (8), (9), y la siguiente, he adoptado la convención de que las variables espaciales se suprime; por lo tanto $u(s)$ es la abreviatura de $u(\vec x, s)$$\vec x \in \Omega$$s \in [0, T]$; esta notación es especialmente útil en casos como el presente en el que las variables espaciales están "integrados".

Tenemos

$\int_\Omega (u^2(s))_t dV = \dfrac{d}{dt}\int_\Omega u^2(s) dV, \tag{10}$

y la realización de un poco algebraicas maniobras encontramos que (8) se convierte en

$\dfrac{1}{2} \dfrac{d}{dt}\int_\Omega u^2(s) dV = -\int_\Omega u^4(s) dV - \int_\Omega \Vert \nabla u(s) \Vert^2 dV. \tag{11}$

La integración de (11) 'entre $t_1, t_2 \in [0, T]$, obtenemos

$\dfrac{1}{2} (\int_\Omega u^2(t_2) dV - \int_\Omega u^2(t_1) dV) = \dfrac{1}{2} \int_{t_1}^{t_2} (\dfrac{d}{dt}\int_\Omega u^2 (s) dV) ds$ $ = -\int_{t_1}^{t_2} (\int_\Omega (u^4(s) + \Vert \nabla u(s) \Vert^2 dV)ds. \tag{12}$

Utilizamos la fórmula (12) para mostrar que $u = 0$ es la única solución de (1) la satisfacción de las declaró condiciones de contorno; choising $t_1 = 0$, nos encontramos con

$\dfrac{1}{2}\int_\Omega u^2(t_2) dV = -\int_0^{t_2} (\int_\Omega (u^4(s) + \Vert \nabla u(s) \Vert^2)dV) ds. \tag{13}$

Ahora si $u(p, t') \ne 0$ algunos $(p, t') \in \Omega \times [0, T]$, entonces a partir de la $u$ es continua, se debe tener $u \ne 0$ en algunos vecindario $W \subset \Omega \times [0, T]$$(p, t')$. Por lo tanto $u^2, u^4 > 0$$V$, mientras que$\Vert \nabla u \Vert^2 \ge 0$$V$. De ello se deduce que tanto

$\int_\Omega u^2(t') dV > 0 \tag{14}$

y

$\int_\Omega (u^4(t') + \Vert \nabla u(t') \Vert^2) dV > 0. \tag{15}$

Tomado en el concierto, (13)-(15) forma un lugar unharmonious trío, trae como son mutuamente contradictorias. Por lo tanto debemos tener $u(p, t') = 0$$(p, t') \in \Omega \times [0, T]$; el $0$ solución de (1) es el único bajo la hipótesis de las condiciones de contorno.

Nota Añadida el jueves 11 de junio de 2015 3:34 PM PST: quería dejar un par de comentarios sobre posibles generalizaciones de este resultado. Primero de todo, para $0 < \alpha \in \Bbb R$ y suficientemente diferenciable limitada $\beta(x) > 0$, $x \in \Omega$, la ecuación

$u_t - \alpha \nabla^2 u = -\beta(x) u^3 \tag{16}$

tiene exactamente una solución, $u \equiv 0$ la satisfacción de los dadas las condiciones de frontera; de hecho, es fácil ver que tal $u$ satisfacer los análogos de (11) y (12):

$\dfrac{1}{2} \dfrac{d}{dt}\int_\Omega u^2(s) dV = -\int_\Omega \beta u^4(s) dV - \alpha\int_\Omega \Vert \nabla u(s) \Vert^2 dV, \tag{17}$

$\dfrac{1}{2} (\int_\Omega u^2(t_2) dV - \int_\Omega u^2(t_1) dV) = \dfrac{1}{2} \int_{t_1}^{t_2} (\dfrac{d}{dt}\int_\Omega u^2 (s) dV) ds$ $ = -\int_{t_1}^{t_2} (\int_\Omega (\beta u^4(s) + \alpha \Vert \nabla u(s) \Vert^2 dV)ds; \tag{18}$

el paso-por-paso derivaciones de (17), (18) (16) son simples extensiones de los participantes nos de (1) a (11)-(12), y nuestra elección de positividad para $\alpha$ $\beta(x)$ de la fuerza de $u \equiv 0$ tal como se dijo anteriormente. Por lo que el resultado es cierto para mucho más general que los coeficientes de establecidos originalmente. Segundo, la ecuación

$u_t - \alpha \nabla^2 u = -\beta(x) u^p, \tag{19}$

donde $p$ es un entero impar positivo lleva a la misma conclusión, y esencialmente por las mismas razones; en este caso (17) se convierte en

$\dfrac{1}{2} \dfrac{d}{dt}\int_\Omega u^2(s) dV = -\int_\Omega \beta u^{p + 1}(s) dV - \alpha\int_\Omega \Vert \nabla u(s) \Vert^2 dV, \tag{20}$

y desde $p + 1$ es incluso, hemos

$\int_\Omega \beta u^{p + 1}(s) dV > 0 \tag{21}$

a menos $u = 0$; por lo que el mismo resultado se une. Esto en contraste con el caso de $p \ge 0$, incluso, de donde $p + 1$ es impar y no podemos concluir que (21) sostiene, lo que invalida la presen línea de argumentación.

Sería atractivo para explorar los casos $p < 0$ un entero, o incluso $p$ no entero, pero creo que he ido lo suficientemente lejos como para el presente. Final de la Nota.