Necesito ayuda urgentemente: la medida de Lebesgue n-dimensional de un hiperplano es cero.

Question

Dejemos que $\alpha \in \mathbb{R}$ , $a \neq 0$ y $\mu \in \mathbb{R}^{n}$ . Dejemos que $H$ sea el hiperplano en $R^{n}$ dado por $h = \{ x \in \mathbb{R}^{n} : \langle x-\mu , a \rangle = 0 \}$ .

Demostrar que $m_{n}(H)=0$ , donde $m_{n}$ es $n-$ medida de Lebesgue dimensional, y deducir que $\int_{H}f(x)dx = \int_{\infty}^{\infty}\cdots \int_{-\infty}^{\infty} f(x_{1},\cdots, x_{n})1_{H}(x_{1},\cdots,x_{n})dx_{1},\cdots, dx_{n} = 0$ para cualquier función de Borel $f$ en $\mathbb{R}^{n}$ .

Necesitamos encontrar una base lineal para $\mathbb{R}^{n}$ , entonces eliminamos uno de los vectores que no define el hiperplano, con lo que obtenemos que basta con tener como máximo $n-1$ vectores, luego redefinir la medida de Lebesgue muktivariable de acuerdo con la rotación y la traducción, pero estoy realmente en una pérdida en cuanto a cómo hacer esto. Por favor, ayúdenme.

Answer 1

Consideremos el caso $n=2$ para simplificar (el caso general es una generalización sencilla). Utilizando que la medida de Lebesgue es invariante bajo rotaciones y traslaciones podemos suponer que el hiperplano es igual a $\mathbb R$ . Tenga en cuenta que $\mathbb R=\bigcup_{n\in\mathbb Z}[n,n+1]$ por lo que basta con demostrar que el intervalo $[n,n+1]$ tiene una medida bidimensional cero. Esto está claro ya que está contenido en un rectángulo de longitud 1 y altura arbitrariamente pequeña.

Para la segunda parte: Primero mostrar el resultado para las funciones simples. Fijar $\phi=a_1\chi_{A_1}+...+a_n\chi_{A_n}$ entonces $\int_H \phi=a_1\mu(H\cap A_1)+...+a_n\mu(H\cap A_n)=0$ desde $\mu(H)=0$ para el resultado general basta con aproximar una función de Borel arbitraria mediante funciones simples.

Answer 2

Como la medida de Lebesgue es invariante a los movimientos rígidos, basta con demostrar que la medida del hiperplano $\{x_n =0 \}$ es cero. Utilizando el hecho de que la medida de Lebesgue es contablemente aditiva (y subaditiva), basta con demostrar el resultado para un $n-1$ caja dimensional de tamaños $B=r_1\times r_2 \times ... \times r_{n-1} \times 0$ .

Esta caja puede incluirse en un $n$ caja dimensional de tamaño $r_1 \times r_2 \times ... \times r_{n-1} \times h$ (imagine que considera las porciones "por encima" y "por debajo" de la $n-1$ conjunto de dimensiones de las alturas $-h/2$ a $h/2$ o, más exactamente, si $B=\{[0,r_1]\times ... \times [0,r_{n-1}] \times \{0\}\}$ puedes considerar $B=\{[0,r_1]\times ... \times [0,r_{n-1}] \times [-h/2,h/2]\}$ la inclusión $B\subset B_h$ es obvio ahora)

Se sabe (por la definición) que la medida de Lebesgue de la caja es $r_1...r_{n-1}h$ así como $h$ llega a cero tenemos $|B_h| \to 0$ Así que $|B|\leq |B_h|$ lo que implica que $|B|=0$ .

Una vez que haya probado el resultado para un $n-1$ caja dimensional, divides tu hiperplano en pequeños rectángulos no necesariamente disjuntos que tienen todos medida cero, por lo que la medida de tu hiperplano es cero.

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Esto parece un poco un razonamiento en círculo... Si ya conocemos la medida de un $n$ caja dimensional, entonces para un $n-1$ caja dimensional, la medida tiene que ser cero ya que una de las aristas de la caja tiene longitud cero.