Línea integral sin fórmula Greens.

Question

Quiero calcular:$$\oint_C\frac{1}{x^2 + y^2}dx + 2y\ dy$ $ donde$C = \{(x,y)\mid x^2 + y^2 = 1\}$. Y quiero hacerlo sin fórmula verde.

Para calcular la integral de línea, debemos entonces Parametrizar el círculo$x^2 + y^2 = 1$ en la función de ruta parametrizada$f(t) = (\cos(t), \sin(t))$ para$0 \leq t\leq 2 \pi$. ¿Entonces la integral$\oint_C \frac{1}{x^2 + y^2} \, dx + 2y \, dy$ se convierte en$\int_0^{2\pi} \frac{1}{\cos(\theta)^2 + \sin(\theta)^2}(-\sin(\theta)) + 2(\sin(\theta)) \cos(\theta)d\theta$ que se convierte en$\int_0^{2\pi} (-\sin(\theta)) + 2(\sin(\theta)) \cos(\theta)d\theta = \int_0^{2\pi} (\sin(\theta))(2\cos(\theta) -1)\,d\theta =0$?

¿Alguien puede decirme si esto es correcto / cerca de la derecha? El cero me hace dudarlo.

Answer 1

Como está en la curva$x^2+y^2=1$, puede reemplazar inmediatamente$\displaystyle\oint_C \frac{dx}{x^2+y^2}$ con$\displaystyle\oint_C 1\,dx$. A medida que recorre el círculo, la suma de todos los infinitos incrementos infinitamente pequeños de$x$ debe ser$0$ porque vuelve a su punto de partida. Por lo tanto, esa integral es$0$. Del mismo modo,$y$ vuelve a su punto de partida, por lo que está integrando$2y\,dy$ de$-1$ a$1$ y de$1$ a$-1$ y agregando ellos juntos, entonces ahí también obtienes$0$.