¿Puede un camino evitar un conjunto denso?

Question

Mi pregunta es relativa a una circunstancia inusual en un juego que estoy jugando. Estamos tratando de mover un punto-como objeto de una parte de la luna a otro, sin pasar a través de otro jugador de la tierra. Sin embargo, debido a un vacío legal, nada impedía que un amigo de la compra de un denso conjunto de medida cero. (El juego anima a las reglas-discente así que esto no es completamente fuera de línea). Ahora no sé lo que está pasando.

Me imagino que la versión más simple de esta pregunta sería si hay una continua no trivial de la curva en $\mathbb{R}^2$ que se evite cualquier punto en $\mathbb{Q}^2$, pero ahora tengo curiosidad por ver si hay una manera de que esta declaración podría ser generalizado arbitraria de espacios topológicos (sin necesariamente tener una medida).

Técnicamente, de acuerdo a este juego, el objeto tiene que tener una velocidad, por lo que para resolver la confusión para nosotros tendríamos una curva que también es diferenciable en a la mayoría de los countably muchos puntos, pero no sé lo suficiente acerca de differentiablity imaginar la correspondiente generalización.

Answer 1

Para responder a su versión simple, la línea$$y=\pi x+\sqrt{2}$ $ avoids every point in $% \ mathbb {Q} ^ 2$ since $ \ sqrt {2}$ is algebraic and $ \ pi $ no lo es.

Existen conjuntos densos de indicadores de cero que impiden este tipo de enfoque, como$$ (\mathbb{R}\times \mathbb{Q}) \cup (\mathbb{Q}\times \mathbb{R})$ $, por lo que depende de lo que haya comprado su amigo.