Su estrategia está condenada al fracaso. Al igual que en Euclides prueba, usted no puede probar que $1+\prod p_{i}$ es primo. Mismo aquí, usted no puede demostrar que lo que se obtiene es irreductible, porque es posible que no lo es. Por ejemplo, $1+x(x+1)$ no es irreducible en a $\mathbb{C}$. Intenta demostrar que, si $1+\prod F_{i}$ puede ser factorizado, entonces existe una irreductible monic polinomio que la dividen.
Ahora, tengo una analítica/combinatoric (un poco) la prueba, sólo un cambio de sabor.
Si el $k$ es infinito, $X-\alpha$ por cada $\alpha$ proporcionar el infinito primera necesidad.
Suponga $k$ es finito. Suponga que hay sólo un número finito de monic polinomio irreducible: vamos a $r$ el número de ellos. A continuación, ya que todos los monic polinomio puede ser un factor en el monic polinomio irreducible de forma única, el número de posibles monic polinomio con grado de no más de $n$ está acotada arriba por $\begin{pmatrix}r+n\\n\end{pmatrix}$ (fórmula para la elección de $n$ $r+1$ elección de la repetición: esto es debido a que en el mejor de los casos todos los monic polinomio tiene grado $1$ un de que su suma no puede exceder de $n$; $r+1$ es porque tenemos que tener en cuenta para aquellos que no usamos todo el $n$ permitido monic polinomio irreducible por lo que nos permite elegir $1$ como una opción posible). Tenemos $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\begin{pmatrix}r+n+1\\n+1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r+n\\n\end{pmatrix}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{r+n+1}{n+1}=1$.
Número de monic polinomio hasta grado $n$ sin embargo es $|k|^{n}$. Tenemos $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{|k|^{n+1}}{|k|^{n}}=|k|>1$. Por lo tanto asintóticamente, $|k|^{n}>\begin{pmatrix}r+n\\n\end{pmatrix}$, la producción de la contradicción.