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Euclides prueba de la infinitud de los números primos para probar esta pregunta

Estoy tratando de demostrar que si $k$ es un campo, entonces hay un número infinito de irreductible monic polinomios en $k[X]$.

Mi intento de solución es utilizar casi de la misma estrategia de la de Euclides prueba de la infinitud de los números primos suponiendo $F_1,\ldots,F_n$ son todos irreductible monic polinomios en $k[X]$, y la construcción de un nuevo irreductible monic polinomio diferente de la $F_i$.

Mi conjetura es $F=F_1\cdots F_n +1$, lo que claramente es monic, pero estoy teniendo problemas a la prueba de la irreductibilidad de la parte.

Debo seguir tratando de resolver esta cuestión mediante esta estrategia o es mejor usar uno nuevo?

Gracias

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Oli Puntos 89

Buena estrategia. Usted no puede esperar para probar que $F$ es irreductible. Sin embargo, es un producto de (monic) irreducibles. Usted será capaz de demostrar fácilmente que cualquier irreductible monic divisor $P$ $F$ donde $P$ tiene el grado $\ge 1$, debe ser diferente de todas las $F_i$.

Para infinitos campos, esto es de gran exageración, ya que hay infinitamente muchos irreducibles de grado $1$.

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David HAust Puntos 2696

Sugerencia $\ f_{n+1}\! = 1+f_1\cdots f_n\,$ construcciones de una secuencia infinita de coprimes $\,f_i.\,$ Eligiendo $\,g_i\,$ a ser un monic irreductible factor de $\,f_i\,$ los rendimientos de una secuencia infinita de coprime (tan distintas) irreducibles.

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Geek Puntos 3850

Su estrategia está condenada al fracaso. Al igual que en Euclides prueba, usted no puede probar que $1+\prod p_{i}$ es primo. Mismo aquí, usted no puede demostrar que lo que se obtiene es irreductible, porque es posible que no lo es. Por ejemplo, $1+x(x+1)$ no es irreducible en a $\mathbb{C}$. Intenta demostrar que, si $1+\prod F_{i}$ puede ser factorizado, entonces existe una irreductible monic polinomio que la dividen.

Ahora, tengo una analítica/combinatoric (un poco) la prueba, sólo un cambio de sabor.

Si el $k$ es infinito, $X-\alpha$ por cada $\alpha$ proporcionar el infinito primera necesidad.

Suponga $k$ es finito. Suponga que hay sólo un número finito de monic polinomio irreducible: vamos a $r$ el número de ellos. A continuación, ya que todos los monic polinomio puede ser un factor en el monic polinomio irreducible de forma única, el número de posibles monic polinomio con grado de no más de $n$ está acotada arriba por $\begin{pmatrix}r+n\\n\end{pmatrix}$ (fórmula para la elección de $n$ $r+1$ elección de la repetición: esto es debido a que en el mejor de los casos todos los monic polinomio tiene grado $1$ un de que su suma no puede exceder de $n$; $r+1$ es porque tenemos que tener en cuenta para aquellos que no usamos todo el $n$ permitido monic polinomio irreducible por lo que nos permite elegir $1$ como una opción posible). Tenemos $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\begin{pmatrix}r+n+1\\n+1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r+n\\n\end{pmatrix}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{r+n+1}{n+1}=1$.

Número de monic polinomio hasta grado $n$ sin embargo es $|k|^{n}$. Tenemos $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{|k|^{n+1}}{|k|^{n}}=|k|>1$. Por lo tanto asintóticamente, $|k|^{n}>\begin{pmatrix}r+n\\n\end{pmatrix}$, la producción de la contradicción.

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Jay Stramel Puntos 1265

Cuando vi esta pregunta, dos cosas que me vino a la cabeza que puede hacer que sea más fácil entender lo que está pasando:

  1. Al $k$ es un campo finito, usted puede encontrar una irreductible (=primer) polinomio de cualquier grado; que obviamente demuestra la infinitud. No se que probar, esta declaración es en realidad productiva, porque:

  2. Al $k$ es algebraicamente cerrado, la única polinomios irreducibles son de grado 1.

Sería concebible para ejecutar una prueba de que la distinción entre campos finitos (demostrando declaración 1) desde infinitos campos (en la que sólo hay que observar que cualquier $X - a$$a \in k$, es irreductible). Pero este es torpe, y así nos encontramos con el problema de encontrar un argumento que es ajeno a el tamaño del campo.

Euclides, el argumento de que lidiar con polinomios de grado arbitrariamente alto; su polinomio $F$ siempre tienen un grado mínimo de $n$. Y, sin embargo, si $k$ es algebraicamente cerrado, hecho 2 muestra que es no irreductible. No obstante, mediante el factoring se puede producir una raíz que no era una raíz de cualquiera de las $F_i$'s $i \leq n$, y este hecho no tiene nada que ver con la naturaleza de la $k$; es sólo Euclides original del argumento, adaptado para los polinomios.

De esta manera, más fácil de recordar que el "producto más uno", que aparecen en Euclid de la prueba es raro en sí primo, pero basta con incluir una novela factor principal.

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