Es tetration y quintation etc. de infinito cardenales bien definidos?

Question

Me gustaría saber si tetration y quintation funciones están bien definidas en el infinito de los cardenales, por lo tanto, por ejemplo, $$\aleph_0 \text{ [tet] } \aleph_0 = \aleph_0 ^ {\aleph_0 ^ {\aleph_0^{\dots}}}$$ taken $\aleph_0$ veces y compuestos, de arriba a abajo, para producir una mayor cardinalidad poder establecer en cada iteración recursiva.

En un análogo de manera, $$\aleph_0 \text{ [quint] }\aleph_0 = \aleph_0 \text{ [tet] } (\aleph_0 \text{ [tet] } (\aleph_0 \text{ [tet] } \dots))$$ taken recursively $\aleph_0$ veces, de nuevo compuesto de la parte superior a la parte inferior.

Ya que a medida que uno se mueve a la cada vez mayor compouding operaciones como tetration, quintation, sextation etc. la serie de nuevos cardenales para producded sería cleary aumentan MUCHO más rápido que en una operación como "lento" como "mera" exponencialmente recursiva juego de poder tomar, hacer sufrimos la producción de nuevos enorme cardenales que son de diferente orden y el carácter de los generados por la aplicación de infinito poder establecer operartions? Todos los que de estos mucho más grande cardenales, incluyendo incluso a $\aleph_0\, [\aleph_0\text{ compounding operation}] \,\aleph_0$, sí agravado $\aleph_0$ veces etc. todavía más pequeño que los otros, mejor conocido grandes cardenales definido de alguna otra manera?

Espero que estas preguntas son bastante fáciles de comprender. Apenas ir mucho más allá de la elemental de la teoría de conjuntos. Gracias por leer y que me haga saber si usted puede contestar a ninguna de ellas!

Answer 1

dot dot puntos son problemáticas en las expresiones, debido a que necesitamos todas las expresiones que ser finito en longitud. Una manera razonable de interpretar la primera parte de su pregunta es $$\aleph_0 \text{ [tet] } \aleph_0 = \sup\{\aleph_0, \aleph_0 ^ {\aleph_0},\aleph_0 ^ {\aleph_0 ^ {\aleph_0}},\dots\}$$ This is less than or equal to the first strong inaccessible (assuming it exists). A standard result is that if the exponent is infinite we can replace any base less than or equal to the cofinality of the exponent with $2$ así que ahora tenemos $$\aleph_0 \text{ [tet] } \aleph_0 = \sup\{\aleph_0, 2 ^ {\aleph_0},2 ^ {2 ^ {\aleph_0}},\dots\}$$ If $\kappa$ is strongly inaccessible, we have $2^\alpha \lt \kappa$ whenever $\alpha \lt \kappa$ so the $\sup$ is at most $\kappa$. It must be lower because this is an increasing chain of length $\aleph_0$ so the cofiniality of the $\sup$ is $\aleph_0$ and the $\sup$ no es inaccesible.