Conjunto de soluciones de una suma

Question

Quiero saber el conjunto de enteros soluciones de la siguiente suma: $$\sum\limits_{n=1}^{k}\frac{n}{a_n}=1$$ Por ejemplo, la serie $a_n=\frac{1}{nk}$ satisface esta para todo entero $k$. Hasta el momento, esta es la única solución que he venido para arriba con un general $k$. Aquí están algunas de las soluciones que tengo para valores específicos de $k$:

Si $k=2$, $a_1=a_2=\frac{1}{3}$ obras.

Si $k=3$, $a_1=a_2=\frac{1}{4}, a_3=\frac{1}{12}$ obras.

Si $k=4$, $a_1=a_2=\frac{1}{5}, a_3=\frac{1}{15}, a_4=\frac{1}{20}$ obras.

Hay generalizaciones o maneras de generar nuevas soluciones?

Answer 1

Sin embargo, otra solución genérica: desde $$\sum_{n=1}^{k-2} \frac{n}{2^{n+1}}=1-\frac{k}{2^{k-1}},$$ podemos escribir la fracción $\dfrac{k}{2^{k-1}}$ en forma $$\frac{k}{2^{k-1}}=\frac{k-1}{2^{k-1}}+\frac{1}{2^{k-1}} = \color{red}{\frac{k-1}{2^{k-1}}}+\color{darkviolet}{\frac{k}{k\cdot 2^{k-1}}}.$$ Luego de dado $k$ ($k\ge 3$) tenemos la solución $$(a_1,a_2,\ldots,a_{k-2},a_{k-1},a_k) = \left(4,8,\ldots, 2^{k-1}, \color{red}{2^{k-1}}, \color{darkviolet}{k\cdot 2^{k-1}}\right).$$

Ejemplos:
$k=3$: $(4,\color{red}{4},\color{darkviolet}{12})$;
$k=4$: $(4,8,\color{red}{8},\color{darkviolet}{32})$;
$k=5$: $(4,8,16,\color{red}{16},\color{darkviolet}{80})$;
$k=6$: $(4,8,16,32,\color{red}{32},\color{darkviolet}{192})$;
$\cdots$ .

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En general, el conjunto de soluciones es muy amplio:

$k=3$:

(2,5,30)
(2,6,18)
(2,7,14)
(2,8,12)
(2,10,10)
(2,12,9)
(2,16,8)
(2,28,7)
(3,4,18)
(3,6,9)
(3,12,6)
(3,30,5)
(4,3,36)
(4,4,12)
(4,8,6)
(5,4,10)
(5,10,5)
(5,40,4)
(6,3,18)
(6,4,9)
(6,6,6)
(6,24,4)
(8,4,8)
(8,16,4)
(10,5,6)
(12,3,12)
(12,12,4)
(14,4,7)
(15,6,5)
(20,10,4)
(30,3,10)
(36,9,4)

Answer 2

Otra solución genérica es elegir a $a_1=a_2=\ldots=a_k=\frac{k(k+1)}{2}$, Entonces usted tiene $$\sum_{n=1}^{k}\frac{n}{a_n} = \frac{2}{k(k+1)}\sum_{n=1}^k n = \frac{2}{k(k+1)}\cdot\frac{k(k+1)}{2} = 1$$

Para $k=2$ esto le da a la solución que has encontrado ya; $a_1=a_2=3$.

Para $k=3$ da $a_1=a_2=a_3=6$.

Para $k=4$ da $a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 10$.

Answer 3

Vamos a tratar el caso de $k=3$. Escribir la ecuación de $1/a_1 + 2/a_2 + 3/a_3 = 1$

$$ a_3 = \frac{3 a_1 a_2}{a_1 a_2 - 2 a_1 - a_2}$$ Este sin duda será un número entero si el denominador es $\pm 1$ o $\pm 3$. Vamos a tratar de $+1$. Así que nuestra nueva ecuación es $$ a_1 a_2 - 2 a_1 - a_2 = 1 $$ que podemos resolver por $a_2$: $$ a_2 = \frac{2 a_1 + 1}{a_1 - 1}$$ Si $t = a_1 - 1$, esto es $(2t+3)/t = 2 + 3/t$. Será un entero si $t = -3, -1, 1$ o $3$, correspondiente a $(a_1,a_2,a_3) = (-2,1,-6), (0,-1,0), (2,5,30)$ $(4,3,36)$ respectivamente. De curso $(0,-1,0)$ tiene que ser excluidos debido a que conduce a una división por $0$ en la ecuación original.

Del mismo modo, el denominador $-3$ conduce a la solución de $(2,1,-2)$, $-1$ a $(2,3,-18)$, e $3$ a $(-4,1,-4)$, $(2,7,14)$ y $(6,3,18)$.

El método puede ser extendido para arbitrario $k$. Primero resuelve $a_k$:

$$a_k = \frac{ k a_1 a_2 \ldots a_{k-1}}{P(a_1, \ldots, a_{k-1})} $$ donde $P$ es un polinomio de grado $1$ en cada variable. Elija uno de los divisores de a$d$$k$, y considerar la ecuación de $P(a_1, \ldots, a_{k-1}) = d$, que luego pueden ser resueltos por $a_{k-1}$, de nuevo como un función racional de $a_1, \ldots, a_{k-2}$ con denominador de grado $1$ en cada uno de estos. Elija un valor para el denominador, que garantiza $a_{k-1}$ es un número entero ($\pm$ un divisor de el contenido de el numerador). Continúe hasta llegar a algo de la forma $a_2 = \frac{\alpha a_1 + \beta}{a_1 -1}$, donde se puede tomar $a_1 = t + 1$ $t$ es un divisor de a $\alpha + \beta$.

Tomando denominadores siempre $+1$, obtenemos las siguientes soluciones:

$$ \eqalign{ k=2: y (2,4)\cr k=3: & (2,5,30)\cr k=4: & (2,5,31,1240)\cr k=5: & (2,5,31,1241,1923550)\cr k=6: & (2,5,31,1241,1923551, 4440055831260)\cr etc.}$$

La secuencia de $2,5,31,1241,1923551, \ldots$ no parece ser en el OEIS. Tal vez va a ser pronto.

EDIT: Ahora es: A295391.

Answer 4

A menos que usted desea restringir a positivo entero soluciones, usted también tiene soluciones tales como

$${1\over-1}+{2\over2}+{3\over-3}+{4\over4}+{5\over-5}+{6\over6}+{7\over7}=1$$

y

$${1\over-1}+{2\over2}+{3\over-3}+{4\over4}+{5\over-5}+{6\over6}+{7\over-7}+{8\over4}=1$$

y las generalizaciones obvias para los pares y los impares $k$.

Podría ser de interés para contar el número de soluciones (con o sin una positividad de restricción) para los primeros valores de $k$, y a ver si es en la OEIS. Los casos de $k=1$ $2$ son fáciles, pero $k=3$ ya parece un poco complicado, al menos a mano. (He intentado sistemáticamente listado de las soluciones positivas, pero sigo cometiendo errores. Un programa de computadora puede tener mejor suerte.)