P: Vamos a $p(x)$ ser un real $7$ grado del polinomio con $p(\pi)=\sqrt 3$$\int_{-\pi}^{\pi}x^k p(x)=0$$0\le k\le 6$. Encontrar$p(0)$$p(-\pi)$.
Deje $p(x)=a_0 + a_1 x+ a_2 x^2+ a_3 x^3+...+a_7 x^7.$
A continuación, podemos acercarnos a este problema mediante la evaluación de la integral definida dada en la pregunta para cada una de las $k$, por lo tanto, dándonos $7$ ecuaciones en $8$ variables $a_0, a_1,...,a_7$. Tenemos octavo ecuación mediante dada la condición de $p(\pi)=\sqrt 3$.
De esta manera tenemos $8$ ecuaciones con $8$ incógnitas. Nos formulario siguiente sistema de ecuaciones,
$$ \left(\begin{matrix} 1 & 0 & \frac {{\pi}^2}3 & 0 & \frac {{\pi}^4}5 & 0 & \frac {{\pi}^6}7 & 0 \\ 0 & \frac 13 & 0 & \frac {{\pi}^2}5 & 0 & \frac {{\pi}^4}7 & 0 & \frac {{\pi}^6}9 \\ \frac 13 & 0 & \frac {{\pi}^2}5 & 0 & \frac {{\pi}^4}7 & 0 & \frac {{\pi}^6}9 & 0 \\ 0 & \frac 15 & 0 & \frac {{\pi}^2}7 & 0 & \frac {{\pi}^4}9 & 0 & \frac {{\pi}^6}{11} \\ \frac 15 & 0 & \frac {{\pi}^2}7 & 0 & \frac {{\pi}^4}9 & 0 & \frac {{\pi}^6}{11} & 0 \\ 0 & \frac 17 & 0 & \frac {{\pi}^2}9 & 0 & \frac {{\pi}^4}{11} & 0 & \frac {{\pi}^6}{13} \\ \frac 17 & 0 & \frac {{\pi}^2}9 & 0 & \frac {{\pi}^4}{11} & 0 & \frac {{\pi}^6}{13} & 0 \\ 1 & \pi & \pi^2 & \pi^3 & \pi^4 & \pi^5 & \pi^6 & \pi^7 \end{de la matriz}\right) \cdot \left(\begin{matrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \\ a_6 \\ a_7 \\ \end{de la matriz}\right)= \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \sqrt 3 \\ \end{de la matriz}\right)$$ Si podemos resolver este sistema de ecuaciones, obtenemos los valores de $a_i$s. De esta manera hemos identificado el polinomio $p(x)$. Una vez que hemos identificado el polinomio es fácil calcular el $p(0)$$p(-\pi)$. Tenga en cuenta que $p(0)=a_0$.
Pero este enfoque es muy larga. Es allí una manera más rápida?
