Cómo encontrar un resto de $\frac{3^{208}}{2}$ sin una calculadora?

Question

$$\frac{3^{208}}{2^{109}}\text{?}$$ I wasn't able to get the exact question source but I believe there's been a typo. Should be something like$3^{208}$ mod 2, el cual ha sido aclarado en muchas otras preguntas. Profundamente lo siento por la confusión! Muchas gracias a todos!!

Answer 1

No puedo ver ninguna manera simple de hacer esto. Por un lado, el módulo que tiene es absolutamente enorme : usted no puede hacer cálculos elementales con $2^{109}$.

Mismo exponenciales puede ayudarle a calcular el cociente : en ninguna manera se ayudará a encontrar el resto.

Una simplificación que probablemente pueden tener en cuenta, es que el $(2+1)^{208} = \sum_{i=0}^{208} \binom {208}i 2^i$. Ya que después de la $i=109$, cada término es un múltiplo de a $2^{109}$, puede eliminar estas. Sin embargo, que deja a los términos de $i=0$$108$, lo cual es una tarea!(Se podría argumentar que, una tarea más dura que la anterior).

$\color{red}{275886531195588709026997180223041}$

Con una calculadora, por supuesto.

EDIT : Si se trata de un GRE prueba, que es algo sorprendente. Solicito la publicación de este texto exacto para nosotros, para que luego me adecuadamente puede editar esta respuesta.

EDIT : Si la pregunta es $3^{208} \mod 2$, $3^{208}$ es impar, obviamente, así que no hay.