¿Por qué inventar la definición de pseudovector?

Question

Según Wikipedia:

un pseudovector (o vector axial) es una cantidad que se transforma como un vector bajo una rotación adecuada, pero en tres dimensiones gana un giro de signo adicional bajo una rotación inadecuada como un reflejo.

Parece que los seudovectores "no son vectores reales". Pero si lo piensas, cada vector en $ \mathbb {R}^3$ puede escribirse como un producto cruzado de dos vectores. Dejemos que $ \vec {v}_1 = (a,b,c)$ Entonces $ \vec {v}_2 = \frac {1}{ \sqrt {a}}(-c,0,a), \vec {v}_3 = \frac {1}{ \sqrt {a}}(-b,a,0)$ satisfacer $$ \vec {v}_3 \times\vec {v}_2 = (a,b,c) $$ Así que tenemos que $ \vec {v}_1$ es un pseudovector. Pero esto significa que cada vector es un pseudovector, por lo que esta definición me parece vacía en 3D.

Answer 1

Tienes razón en que $ \vec {v}_1$ tiene el mismo derecho a ser un vector y un pseudovector. Pero la conclusión no es que sea ambas cosas. ¡No es ninguna de las dos cosas! Mira cómo lo introdujiste:

cada vector en $ \mathbb R^3$ ... Deje que $ \vec {v}_1 = (a,b,c)$ ...

¿Qué significa eso? Si arreglas tres números reales $a,b,c$ por ejemplo, los tres primeros números primos $2,3,5$ entonces la cantidad $(a,b,c)=(2,3,5) \in\mathbb R^3$ no es ni un vector ni un seudovector con respecto a las rotaciones en el espacio físico tridimensional. Es un scalar porque no se transforma bajo las rotaciones. Ese escalar sólo tiene un índice en una representación tridimensional trivial del grupo de simetría espacial.

Es más saludable considerar que los vectores y seudovectores viven en espacios separados, dotados de diferentes representaciones del grupo de simetría, en este caso $O(3)$ . Ambos espacios son tridimensionales, por lo que existe un isomorfismo entre ellos (fijando un marco de coordenadas). Pero no son naturalmente isomórficas entre sí, ni tampoco son naturalmente isomórficas para $ \mathbb R^3$ .

Answer 2

Llamemos $ \vec {v}$ cualquier vector y definir $ \vec v_1$ y $ \vec v_2$ como sus "componentes", es decir $ \vec v= \vec v_2 \times\vec v_1$ . Digamos que $ R:\mathbb R^3 \rightarrow\mathbb R^3$ es cualquier rotación. Entonces, de una manera no tan simple, puedes verificar $R( \vec v)=R( \vec v_2) \times R( \vec v_1)$ . Tomemos por ejemplo $ \vec v_2$ y $ \vec v_1$ en el $xy-$ plano, y hacer una rotación alrededor del $z-$ eje. Ahora, digamos que $ T:\mathbb R^3 \rightarrow\mathbb R^3$ es un reflejo, eso significa $T( \vec x)=- \vec x$ . Luego $ T( \vec v_2) \times T( \vec v_1)=(- \vec v_2) \times (- \vec v_1)= \vec v_2 \times\vec v_1= \vec v \neq T( \vec v)=- \vec v$ . Son los "componentes" los que no se comportan bien y por eso la diferencia.

Answer 3

Sería mejor decir que un vector se transforma en un polar o axial que decir que es un vector polar o axial (también conocido como pseudovector). Este último es sin embargo más fácil de decir y escribir, así que lo haré.

Sólo porque un vector puede escribirse como un producto cruzado de otros vectores, $ \vec w = \vec u \times \vec v$ no tiene que ser axial. Si uno de los $ \vec u$ y $ \vec v$ es axial y el otro polar, entonces $ \vec w$ es polar.

No se puede ver en un vector si es polar o axial. Es una propiedad del tipo de entidad que el vector representa. Un ejemplo es en la física donde tenemos $ \vec L = \vec r \times \vec p$ (momento angular) y $ \vec F = q \vec v \times \vec B$ (fuerza de una partícula cargada que se mueve en un campo magnético). Aquí el momento angular $ \vec L$ y el campo magnético $ \vec B$ son entidades vectoriales axiales mientras que $ \vec r$ , $ \vec p$ , $ \vec F$ y $ \vec v$ son entidades vectoriales polares.

Como Hans Lundmark sugiere que sería mejor usar bivectores en lugar de los vectores axiales. Los bivectores también funcionan en otras dimensiones distintas a la 3. Una forma de representarlos es como matrices antisimétricas (sesgadas): $$ \mathbf L = \left ( \begin {matrix} 0 & x p_y - y p_x & x p_z - z p_x \\ y p_x - x p_y & 0 & y p_z - z p_y \\ z p_x - x p_z & z p_y - y p_z & 0 \\ \end {matrix} \right )$$ es decir. $L_{ij} = x_i p_j - x_j p_i,$ donde $(x_1, x_2, x_3) = (x, y, z)$ y $(p_1, p_2, p_3) = (p_x, p_y, p_z),$ y $$ \mathbf B = \left ( \begin {matrix} 0 & B_z & -B_y \\ -B_z & 0 & B_x \\ B_y & -B_x & 0 \end {matrix} \right )$$ es decir. $B_{ij} = \epsilon_ {ijk} B_k,$ donde $ \epsilon_ {ijk}$ es el El símbolo de Levi-Civita .