La determinación de la probabilidad de los resultados de medición

Question

Mientras nos mostraba el gato de Schrödinger experimento, mi profesor de física que se define como:

$$\varphi_\text{alive} = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\qquad \varphi_\text{dead} = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}, \qquad \hat{O}\varphi = \begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\varphi,$$ and $$\Phi = \frac{1}{\sqrt{2}}\varphi_\text{alive} + \frac{1}{\sqrt{2}}\varphi_\text{dead},$$

tal que $\hat{O}\varphi_\text{alive} = \varphi_\text{alive}$$\hat{O}\varphi_\text{dead} = -\varphi_\text{dead}$.

Posteriormente se dice que hay una probabilidad del 50% que $\hat{O}\Phi = \varphi_\text{alive}$ y una probabilidad del 50% que $\hat{O}\Phi = \varphi_\text{dead}$. Pero de acuerdo a las definiciones, $\hat{O}\Phi$ es simplemente una matriz de multiplicación cuyo resultado es $\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$...

¿Cómo podría hacer la misma operación en el mismo vector de dos veces dan dos resultados diferentes, ambos de los cuales están equivocados?

Answer 1

Permítanme parafrasear lo que su maestro hizo. Primero se define un operador $\hat{O}$ dado por la matriz que tiene. Entonces notaron que el operador tiene dos vectores propios con autovalores $+1$$-1$, dado por los dos vectores que tienen. Observe que estos autovectores son ortonormales.

Ellos interpretan los dos vectores propios como dos estados de un sistema cuántico, uno correspondiente a "vivo" y el otro "muerto". Entonces se supone que tiene un sistema que se encuentra en una específica combinación lineal de estos vectores propios, que es su función de onda es la $\Phi$.

Luego aplicaron los siguientes dos axiomas de la mecánica cuántica, las cosas que creemos que son las reglas de la naturaleza y no puede ser derivada de otra cosa:

• El valor de la medición de un observable (operador) es uno de sus valores propios; entonces, el sistema "se derrumba" para el correspondiente vector propio.
• La probabilidad de obtener un autovalor es dada por el módulo al cuadrado del coeficiente de la ortonormales autovector correspondiente al autovalor en la expansión de la función de onda.

Su función de onda ya se ha ampliado en términos de los vectores propios ortonormales de $\hat{O}$. El primer axioma, una medición de $\hat{O}$ le $+1$ ("vivo") o $-1$ ("muertos"). Antes de la medición, la función de onda está dada por $\Phi$. Dicen que la medición de los rendimientos de $+1$. Después de la medición, la función de onda del sistema está dado por $\Phi'=\varphi_{alive}$. La función de onda ha "colapsado".

Por el segundo axioma, la probabilidad de obtener los $+1$ está dado por $|1/\sqrt{2}|^2=1/2=50\%$, y es la misma que la probabilidad de contraer $-1$.

En particular, la medición de un operador que no es dado al aplicar el operador de la función de onda. Esto sólo funciona si el sistema está en un estado que es un autovector del operador. En este caso, el sistema tiene un valor definido para ese operador en particular (que puede ser, por ejemplo, la posición o el momento). De lo contrario el sistema no tiene un valor definido para ese operador, y al medir, se obtienen diferentes resultados con diferentes probabilidades.

Answer 2

Parece que hay cierta confusión aquí. El acto de la observación (que se derrumba la superposición a un eigenstate de $\hat O$) es profundamente diferente de operación en el estado con $\hat O$ que no colapso del estado, sino, devuelve un diferente superposición de estados propios.

Por ejemplo:

$$\hat O \Phi = \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_{alive} - \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_{dead} \ne \Phi$$

Answer 3

Para obtener la probabilidad de que su estado de $\Phi$ después de la medición (la apertura de la caja) se hundió en el eigenstate $\varphi_{alive}$ de la $\hat{O}$ operador ($\hat{O}$ es el operador que corresponde a la observables de 'vida') es dado por $\left|\left < \varphi_{alive} | \, \Phi\right >\right|^2$. De forma análoga $\left|\left < \varphi_{dead} | \, \Phi\right >\right|^2$ es la probabilidad de colapso del estado en $\varphi_{dead}$. La fantasía $\left <a|b \right >$ la notación es la norma de producto escalar.