Estoy aprendiendo álgebra en la escuela, y mi maestra me dijo que todos los cuadráticas son factorable en un producto de dos binomios. Entonces me di cuenta, sin embargo, que algunos cuadráticas habría de raíces imaginarias, y por lo tanto no sería capaz de poner en forma factorizada. Quién está equivocado aquí, mi maestro o a mí? Por ejemplo, puede $x^2 + 4x + 1$ incluso ser expresado en forma factorizada? Gracias de antemano.
Respuestas
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David K
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Estás bien o mal dependiendo del contexto, y por lo tanto es su maestro.
Una de las mejores propiedades de los números complejos es que cuando se permite que los polinomios de tener coeficientes complejos, cada polinomio es el producto de factores lineales en exactamente un camino (sin contar los diferentes órdenes de la multiplicación de los factores como diferentes maneras de expresar el producto). Esto se conoce como el Teorema Fundamental del Álgebra. (Se puede decir que es un importante teorema, debido a que es llamado "fundamental".)
Si usted permite que sólo los coeficientes reales de polinomios, el Teorema Fundamental tiene una forma ligeramente diferente: cada polinomio es el producto de factores lineales y/o cuadrático irreducible factores con coeficientes reales en exactamente un camino (sin contar los diferentes órdenes de la multiplicación de los factores). La irreductible cuadrática factores son precisamente las que han raíces complejas.
Así que cuando trabajamos con polinomios, podemos preguntarnos, "Estamos trabajando con el real de los polinomios de hoy o con complejo de polinomios?" Dependiendo de la respuesta a esa pregunta, puedes factor de cada polinomio en términos lineales, o hay algunos que no se puede factor de en ese camino.
tong_nor
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Cada polinomio de grado $n\ge 1$ tiene exactamente $n$ raíces complejas y, por lo tanto se puede descomponer en un producto de $n$ binomios (con complejo de coeffitients de curso). (Véase el Teorema Fundamental del Álgebra)
En su ejemplo, hay raíces reales: \begin{align} x^2+4x+1&=x^2+4x+4-3 \\ &=(x+2)^2-3 \\ &=(x+2-\sqrt{3})(x+2+\sqrt{3}) \end{align}
AlexanderJ93
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Deje $P(z) = \sum_{i=0}^n a_i z^i$, por lo que el $P$ es un polinomio de grado $n$. Supongamos que $z,a_1,\dots,a_n \in \mathbb{C}$. Entonces, existe $r_1,\dots,r_n \in \mathbb{C}$ tal que $P(z) = a_n\prod_{i=1}^n (z-r_i)$. Esto es más o menos lo que el Teorema Fundamental del Álgebra estados (o implica, dependiendo de a quién preguntes). Así, bajo estas circunstancias, cada polinomio de grado $n$ se puede escribir como un producto de exactamente $n$ factores del binomio, no necesariamente distintos.
Sin embargo, si suponemos que $r_1,\dots,r_n \in \mathbb{R}$, entonces este no es el caso, incluso si también tenemos $z,a_1,\dots,a_n \in \mathbb{R}$. Por ejemplo, el polinomio $P_0(z) = z^2+z+1$ no tiene ningún tipo de representación, y lo que es equivalente, no es $z^* (\in \mathbb{R})$ tal que $P_0(z^*) = 0$. Desde $\mathbb{Q}, \mathbb{Z},$ $\mathbb{N}$ son subconjuntos de a $\mathbb{R}$, tienen propiedades similares.
