Sistema de ecuaciones diferenciales

Question

Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales

$$\frac{dx}{\cos y}=\frac{dy}{\cos x}=\frac{dz}{\cos x \cos y}$$

Yo creo que:

$$\frac{dx}{\cos y}=\frac{dy}{\cos x}$$

$$\cos x~dx = \cos y~dy$$

$$\sin x = \sin y + C_1$$

$$C_1 = \sin x - \sin y$$

Y luego no sé cómo resolverlo.

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Tal vez:

$$\frac{dxdy}{\cos y \cos x}=\frac{dz}{\cos x \cos y}$$

$$dx dy=dz$$

Pero ¿qué es lo siguiente?

Answer 1

Probablemente, el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias viene desde la resolución de un PDE, tales como : $$\cos(y) z_x+\cos(x) z_y =\cos(x) \cos(y) $$ donde la función desconocida es $z(x,y)$.

$$\frac{dx}{\cos y}=\frac{dy}{\cos x}=\frac{dz}{\cos x \cos y}$$

La ecuación de una familia de curvas características viene de : $$\frac{dx}{\cos y}=\frac{dy}{\cos x} \quad\to\quad \sin(x)-\sin(y)=C_1$$ Que es lo que ustedes hicieron.

La ecuación de una segunda familia de curvas características viene de : $$\frac{dy}{\cos x}=\frac{dz}{\cos x \cos y} \quad\to\quad dz=\cos(y)dy \quad\to\quad z+\sin(y)=C_2$$

La solución general de la PDE puede ser expresado en diversas formas equivalentes, por ejemplo : $$\Phi\left(z+\sin(y)\:,\:\sin(x)-\sin(y)\right)=0$$ donde $\Phi$ es cualquier función diferenciable de dos variables.

O explícitamente : $$z+\sin(y)=F\left(\sin(x)-\sin(y)\right)\quad\to\quad z=-\sin(y)+F\left(\sin(x)-\sin(y)\right)$$ donde $F$ es cualquier función derivable.

Otras formas equivalentes son posibles.

NOTA :

Alternativamente, uno puede elegir la otra familia de curvas características, a partir de : $$\frac{dx}{\cos y}=\frac{dz}{\cos x \cos y} \quad\to\quad \cos(x)dx=dz \quad\to\quad z+\sin(x)=C_3$$ Esto lleva a $$z+\sin(x)=G\left(\sin(x)-\sin(y)\right)\quad\to\quad z=-\sin(x)+G\left(\sin(x)-\sin(y)\right)$$ donde $G$ es cualquier función derivable.

Esta es la misma solución general de la anterior debido a que las funciones $F$ $G$ están relacionadas. $\quad G\left(\sin(x)-\sin(y)\right)=\left(\sin(x)-\sin(y)\right)+F\left(\sin(x)-\sin(y)\right)$.

Answer 2

El primer paso es aceptar, dice $$\frac{dx}{\cos(y)}=\frac{dy}{\cos(x)}$$ y usted tiene $$\sin(x)=\sin(y)+c_{1}$$ Entonces usted también $$\frac{dy}{\cos(x)}=\frac{dz}{\cos(x)\cos(y)}$$ Esto le da $$dz=\cos(y)dy$$ o $$z=\sin(y)+c_{2}$$ Equivalentemente, $$\frac{dx}{\cos(y)}=\frac{dz}{\cos(x)\cos(y)}$$ o $$dz=\cos(x)dx$$ Esto le da $$z=\sin(x)+c_{3}$$ Y usando el resultado de la primera $$\sin(x)=\sin(y)+c_{1}$$ ha $$c_{1}+c_{2}=c_{3}$$