Demostrar que los valores de $x$ que $x = \frac{x^2+1}{198}$ se encuentran entre el $\frac{1}{198}$$199.99 \overline{49}$.

Question

Sin el uso de una calculadora, demostrar que los valores de $x$ que $x = \dfrac{x^2+1}{198}$ se encuentran entre el $\dfrac{1}{198}$$199.99 \overline{49}$. A continuación, utilice este resultado para demostrar que $\sqrt{2} < 1.41 \overline{421356}$. Por último, es verdad eso de que $\sqrt{2} < 1.41421356$?

Para la primera parte tenemos que las raíces se $99-70\sqrt{2}$ $99+70\sqrt{2}$ por la fórmula cuadrática. ¿Cómo puedo mostrar estas raíces se encuentran en este rango? También es el uso de la fórmula cuadrática aquí una buena idea?

Answer 1

tenemos $$\frac{1}{198}<x<199.99\overline{49}=\frac{39599}{198}$$ con $x=\frac{x^2+1}{198}$ obtenemos $1<x^2+1$, lo cual es cierto.por otro lado tenemos $$x^2+1<39599$$ this is true since $x^2<198^2<39598$