El límite de la binomial variable al azar distribuida

Question

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(Como Robert señaló, lo que yo estaba tratando de demostrar que es incorrecto. Así que ahora la pregunta correcta aquí, para evitar la duplicación de pregunta)

Para infinito de ensayos de Bernoulli independientes con una probabilidad de $p$ del éxito, definir una variable aleatoria N que es igual a la serie de éxito de la prueba. Intuitivamente, sabemos que si $p > 0$, $\Pr \{N < \infty \} = 0$, en otras palabras,$N \rightarrow \infty$. Pero me quedé atrapado cuando trato de demostrarlo matemáticamente.

\begin{aligned} \Pr \{ N < \infty \} & = \Pr \{ \cup_{n=1}^{\infty} [N \le n] \} \\ & = \lim_{n \rightarrow \infty} \Pr \{ N \le n \} \\ & = \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n} b(i; \infty, p) \\ & = \sum_{i=1}^{\infty} b(i; \infty, p) \\ \end{aligned}

He totalmente ni idea de cómo calcular la última expresión.

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(Pregunta Original)

Para infinito de ensayos de Bernoulli independientes con una probabilidad de $p$ del éxito, definir una variable aleatoria N que es igual a la serie de éxito de la prueba. Podemos demostrar que $\Pr \{N < \infty \} = 1$ por:

\begin{aligned} \Pr \{ N < \infty \} & = \Pr \{ \cup_{n=1}^{\infty} [N \le n] \} \\ & = \lim_{n \rightarrow \infty} \Pr \{ N \le n \} \\ & = \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n} b(i; \infty, p) \\ & = \sum_{i=1}^{\infty} b(i; \infty, p) \\ & = \lim_{m \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{m} b(i; m, p) \\ & = \lim_{m \rightarrow \infty}[p + (1 - p)]^m \\ & = \lim_{m \rightarrow \infty} 1^m \\ & = 1 \end{aligned}

Sé que debe haber algún error en el proceso, porque si $p = 1$, N debe infinito. De manera que la ecuación sólo tiene al $ p < 1 $. Que el paso es correcto?

Answer 1

Que nos llame a $E_{k,n}:=$ probabilidad de ganar exactamente $k$ veces después de $n$ ensayos. Vamos ahora a $$E_k=\lim_{n\to+\infty}E_{k,n}.$$

Tiene $$P(E_k)=\lim_{n\to\infty}P(E_{k,n})=\lim_{n\to+\infty}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$ Debido a $E_{k,n}\subseteq E_{k,n+1}$ y, por supuesto, uno tiene

$$0\leq P(E_k)= \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{p}{1-p}\right)^k\binom{n}{k}(1-p)^n\leq C(p,k)\lim_{n\to+\infty}n^k(1-p)^n=0.$$

Ahora, la probabilidad de que usted está pidiendo a ver es claramente contenida en el caso de $$\bigcup_{k=0}^{+\infty}E_k,$$ por lo tanto, por la monotonía y subadditivity de la probabilidad de medida, se tiene que la probabilidad de ganar un número finito de veces en una secuencia infinita de ensayos menor o igual que $$\lim_{i\to+\infty}\sum_{k=1}^iP(E_k)=0,$$ and so it is $0$.

Answer 2

Mientras $p > 0$, $N$ se $\infty$ con una probabilidad de 1. El primer error está en $$ \sum_{i=1}^\infty b(i;\infty,p) = \lim_{m \to \infty} \sum_{i=1}^m b(i; m,p)$$

Answer 3

Se desea calcular la probabilidad de $s$ éxitos para $s = 0, 1, 2, \ldots$. Aquí el punto crucial es que el $s$ se fija en primer lugar, y, a continuación, calcular la probabilidad de que usted consigue $s$ éxitos cuando se lanza una infinidad de monedas (cada una de las posibilidades de éxito $p$). En otras palabras, queremos $$ \lim_{m \to \infty} b(s; m, p) = \lim_{m \to \infty} \binom{m}{s} p^s (1-p)^{m-s} = (\frac{p}{1-p})^s \lim_{m \to \infty} \binom{m}{s} (1-p)^m. $$ Que de manera intuitiva se puede ver que esta respuesta debe salir a $0$ (a partir de que se trate de una infinidad de monedas). ¿Cómo podemos justificar que rigurosamente? Por la parte superior de la delimitación de la función de $m$ adecuadamente y, a continuación, utilizando el teorema del sandwich.

Al $s$ es fijo, el primer término $\binom{m}{s}$ es en la mayoría de un polinomio en $s$, ya que podemos límite superior libremente por $\binom{m}{s} \leq m^s$. Por otro lado, $(1-p)^m$ va a cero exponencialmente rápido. Se puede utilizar esta para terminar la prueba?

Answer 4

Para $p>0$ no es cierto.

Una manera de mostrar esto es que la mediana de un número finito de binomio al azar variable aleatoria con $n$ ensayos es $\lfloor np \rfloor$ o $\lceil np \rceil$, lo que aumenta sin límite de $n$ aumenta, por lo que su $\Pr \{ N < \infty \}$ debe ser de no más de $0.5$. De hecho, es $0$.