Ejemplo de un endomorphisme en un grupo abelian que no queda la multiplicación

Question

Es bien sabido que todos los endomorphisms en el grupo abelian ($\Bbb{Z}$,+) puede ser visto como una izquierda multiplicación por algún elemento en alguna estructura de anillo en ($\Bbb{Z}$,+); es decir, a la izquierda de la multiplicación por un número entero en el estándar $(\Bbb{Z},+,\times)$ anillo.

Hasta ahora cada endomorfismo en abelian grupos que he examinado ha vuelto a tener la misma propiedad interesante, pero no estoy muy versado en matemáticas avanzada.

Alguien puede dar un ejemplo de un grupo abelian $G$ con un endomorfismo que no puede ser visto como una izquierda multiplicación por algún elemento en alguna estructura de anillo en $G$?

Answer 1

Hay algunos grupos abelian que admiten no (posiblemente nonunital) estructura de anillo con una unidad de la izquierda y para estos grupos, los endomorfismos de identidad no se pueden multiplicar por cualquier elemento en cualquier estructura de anillo. El ejemplo estándar de un grupo es $G=\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. Si usted tenía una estructura de anillo en $G$ con que (la clase de equivalencia de) $u=a/b$ era una izquierda unidad $a,b\in\mathbb{Z}$, entonces el $bu=0$, que $bx=b(ux)=(bu)x=0$ % todos $x\in G$. Pero esto es claramente falso, ya que (por ejemplo) $b\cdot 1/2b=1/2\neq 0$.