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Question

¿Hay una explicación intuitiva simple ¿por qué una partícula en un anillo no tiene cero punto de energía? Es decir, si escribimos la energía como:

$$ E_n = \frac{n^2\hbar^2}{2mr^2} $$

entonces el entero $n$ puede tomar el valor cero. Si consideramos el sistema aparentemente similar de una partícula en un potencial infinito 1D bien, donde la energía está dada por:

$$ E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} $$

entonces el entero $n$ no debe ser cero. ¿Por qué la diferencia?

Answer 1

Consideremos, en primer lugar la partícula en una 1D infinito potencial:

La probabilidad de encontrar la partícula debe ser cero, donde el potencial es infinito, por lo que la función de onda $\Psi$ debe ser cero en los bordes de la caja. $\Psi$ no es cero en algún lugar dentro de la caja, por lo que debe tener una forma algo así como la línea roja. He dibujado al azar línea ondulada de la línea roja, para ilustrar que la $\Psi$ debe surgir de cero en un borde y caer a cero en el otro borde.

La función de onda es descrito por la ecuación de Schrödinger:

$$ \frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + V\psi = E\Psi $$

y dentro de la caja el potencial de $V$ es cero, por lo que esto se simplifica a:

$$ \frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} = E\Psi $$

La única forma en que la energía $E$ puede ser cero si el lado izquierdo es cero, lo que significa:

$$ \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} = 0 $$

Pero es obvio que cualquiera que sea la forma de la línea roja de su segunda derivada no puede ser cero en todas partes y por lo tanto la energía no puede ser cero. Si $\Psi$ tenía la forma de la línea verde, a continuación, $\partial^2\Psi/\partial x^2$ es cero y esto habría de energía cero. Sin embargo, la función de onda no puede ser la forma de la línea verde porque viola las condiciones de frontera.

Ahora considere la posibilidad de la partícula en un anillo.

En este caso la partícula es libre, por lo que el potencial de $V = 0$, pero dado que la función de onda no puede tener dos valores diferentes en el mismo punto requerimos que si giramos a la derecha alrededor del anillo de la función de onda debe volver a tener el mismo valor. Es decir, si expresamos la función de onda como una función del ángulo alrededor del anillo $\theta$ debemos tener:

$$ \Psi(\theta) = \Psi(\theta + 2\pi) $$

En este caso una función de onda que es constante es una perfectamente buena solución.

La función de onda que obedece a la exigencia de que $\Psi(\theta) = \Psi(\theta + 2\pi)$ porque es el mismo en todas partes, y ha $\partial^2\Psi/\partial \theta^2 = 0$, por lo que es una solución de la ecuación de Schrödinger con $E = 0$. Así que en este caso podemos tener una solución con energía cero.

La gran diferencia entre las dos es que la 1D caja tiene una condición de frontera que requieren $\Psi$ a ser cero, mientras que el anillo no. Y esta es la clave para entender cuando lleguemos a un punto cero de energía. En cualquier momento tenemos una condición de frontera que requieren $\Psi = 0$ en algunos límite significa $\Psi$ debe aumentar a partir de cero lejos de la frontera y la disminución de vuelta a cero en el límite, y esto necesariamente significa que la energía debe ser distinto de cero. Por ejemplo, la función de onda de un electrón en un átomo de hidrógeno tiene que ser cero en el infinito, por lo que sabemos de inmediato que debe tener una energía de punto cero (que no de curso).

Answer 2

Hay una diferencia significativa entre las condiciones de frontera. Por el infinito de la plaza así, la probabilidad en los límites que se requiere para ser 0. Esto nos limita a sines, en contraposición a los cosenos (suponiendo que la convención estándar de un límite en la posición 0, y no es distinto de cero de la fase en nuestras soluciones). Desde $\sin 0 = 0$, $\sin \left ( \frac{n \pi x}{L} \right)$ sería $0$ todos los $x$ si $n=0$, lo cual está prohibido por la restricción de que el total de la probabilidad debe ser 1 (es decir, la partícula debe existir en algún lugar). Para el anillo, sólo tenemos un periódico de la condición de límite - la función de onda sólo debe ser la misma en $\theta = 0$ $\theta = 2\pi$ (donde $\theta$ medidas de la posición angular en el anillo), no necesariamente 0. Esto nos permite tener coseno de soluciones, y en particular, permite la $\cos \left ( n \theta \right )$ solución para $n = 0$ - una amplitud constante todo el camino alrededor del anillo, que puede ser normalizada con total probabilidad 1 - con cero energía.