$\phi:\mathcal F\rightarrow \mathcal G$ es un isomorfismo si hay una cubierta en la que $\phi(U)$ es un isomorfismo.

Question

Deje $\mathcal F$ $\mathcal G$ ser gavillas de abelian grupos de más de un espacio topológico $X$ y deje $\phi : \mathcal F\rightarrow \mathcal G$ ser una de morfismos de las poleas.

Si $\{U_{\alpha}\}$ es una cubierta abierta de a $X$ tal que $\phi(U_{\alpha}):\mathcal F(U_{\alpha})\rightarrow\mathcal G(U_{\alpha})$ es un isomorfismo de abelian grupos para cada $\alpha$, entonces es verdad eso de $\phi$ es un isomorfismo de las poleas?

Tratando de probar esto, yo tenía que asumir que para un conjunto abierto $U\subseteq X$ el mapa de $\phi(U_{\alpha}\cap U)$ es un isomorfismo. Sin embargo no puedo mostrar esto a menos que el mapa de restricción $\mathcal G(U_{\alpha})\rightarrow\mathcal G(U_{\alpha}\cap U)$ es surjective. Entonces, ¿hay otra manera de probar esto o es falso? Alguien puede darme un ejemplo contrario?

Gracias.

Answer 1

Esto no es cierto. Deje $X$ ser cualquier espacio topológico, equipado con un valor distinto de cero gavilla $\mathcal{F}$ que no tiene ningún global de las secciones excepto $0$ (tales espacios y las poleas de existir). Considerar el trivial $1$-elemento de la cubierta de $X$, y deje $\phi$ $0$- morfismos $\mathcal{F}\to\mathcal{F}$. Claramente, los morfismos $\phi$ induce un isormorphism $\phi(X):\mathcal{F}(X)\to\mathcal{F}(X)$, pero $\phi$ no es un isomorfismo de las poleas.

Un ejemplo de una gavilla es la gavilla $\mathcal{O}(-1)$$\mathbb{P}^1_\mathbb{C}$. De hecho, esta es la gavilla de las secciones de la "tautológica" línea de paquete, que es un vector paquete cuya fibra de más de un punto de $p\in\mathbb{P}^1_\mathbb{C}$ correspondiente a una línea de $\ell\subset\mathbb{C}^2$ es la línea de $\ell$ sí. (Los detalles de la prueba aquí depende un poco en qué categoría estás trabajando, algebraico, analítico, topológico...).