Esto está relacionado en cierta medida con la pregunta de Greg sobre grupos y grupos abelianos. Supongamos que conoces a alguien que está muy familiarizado con los grupos, pero que no está dispuesto a aceptar los anillos como un objeto significativo de estudio. ¿Cómo les describirías los anillos de una manera natural dado que les gusta hablar de grupos?
(Admitidamente, esta no es realmente la pregunta que hace el título.)
Los anillos son naturalmente los objetos que actúan en grupos abelianos - de hecho, la composición siempre dota a los endomorfismos de un grupo abeliano con la estructura de un anillo. Por lo tanto, si uno está interesado en los endomorfismos de grupos, en realidad está interesado en los anillos.
Se puede hacer esta analogía más precisa, especialmente si se elige un anillo en particular y se examina el funtor olvidadizo a los grupos abelianos desde su categoría de módulos. Esta analogía luego se puede utilizar de nuevo, por ejemplo, para motivar la definición de plethory, que son los objetos naturales que actúan en los anillos.
Para abordar el comentario de Eric sobre los anillos conmutativos, hay un análogo en este caso de algo que se mencionó en la discusión de grupos versus grupos abelianos. De hecho, se pueden obtener anillos conmutativos considerando la identidad en una categoría aditiva monoidal simétrica. En este caso, los endomorfismos de la unidad tensorial tienen una estructura de grupo abeliano a través de la aplicación sobre grupos abelianos y el argumento de Eckmann-Hilton aplicado a la tensorización de endomorfismos y la composición de endomorfismos obliga a que la composición sea abeliana. Entonces, desde este punto de vista, los anillos conmutativos son los dispositivos que actúan de forma natural en los conjuntos de homomorfismos de categorías aditivas monoidales simétricas.
Dado que mencioné esto, se puede llevar esto un poco más lejos. Si se considera una categoría de este tipo junto con una autoequivalencia (por ejemplo, si tomamos una categoría tensor triangular) entonces se puede considerar el anillo de endomorfismos graduado de la identidad. Esto da lugar naturalmente a un anillo graduado de enteros que es conmutativo hasta cierta unidad que se cuadra con la identidad y que tiene una acción natural en la categoría.
Aquí hay más apoyo para los anillos como objetos que actúan sobre grupos abelianos, como ya mencionó Greg Stevenson.
Alguien bien familiarizado con los grupos probablemente sabría que las representaciones de grupos son importantes para su estudio. Dado un grupo G, una representación de G sobre un campo k es una acción de G en un espacio vectorial k V como un grupo de automorfismos lineales. La familiaridad con los anillos nos permite darnos cuenta de que esto es lo mismo que un homomorfismo de anillos del anillo de grupo kG en Endk(V). Entonces, uno puede comenzar inmediatamente a investigar acciones de grupo haciendo preguntas sobre la estructura del anillo de grupo kG. De hecho, incluso se puede mostrar que la categoría de módulos G (representaciones de G) es equivalente a la categoría de módulos (digamos a la izquierda) sobre el anillo kG.
Desde esta perspectiva, los anillos son importantes porque actúan sobre módulos. En este sentido, cada anillo se puede realizar como un anillo de endomorfismos de un módulo: para un anillo R, el módulo derecho RR satisface R ≅ End(RR). (En analogía con la terminología para las representaciones de grupos, a veces se le llama a RR la representación regular de R.)
Para ir un paso más allá, el anillo de endomorfismos de un objeto en cualquier categoría abeliana (o incluso preaditiva) es un anillo. (¡Aunque por la publicación de Greg, suena como si se pudiera ir incluso más allá de esto!) Así que vemos que los anillos generalizan en gran medida la noción de grupos actuando sobre objetos con estructura aditiva.
Al igual que los grupos abelianos y los grupos, las anillos conmutativos y los anillos no conmutativos tienen diferentes motivaciones en mi mente.
Como han dicho, los anillos no conmutativos son naturalmente endomorfismos de grupos abelianos. El primer anillo no conmutativo que la gente debería tener en mente debería ser Mn, creo.
Sin embargo, me sorprende que nadie haya mencionado que los anillos conmutativos son naturalmente el conjunto de funciones sobre algo. Por supuesto, se necesitan un par de semestres de geometría algebraica para que esto sea cierto, pero es la idea que motiva la teoría. El primer anillo conmutativo que la gente debería tener en mente es C[x], con Z como un segundo ejemplo donde parece extrañamente bizarro que todo siga funcionando (factorización prima, ideales, etc). Ciertamente, cuando intento convencer a un escéptico de que los anillos son increíbles (lo cual he hecho un par de veces ahora), muevo mis manos salvajemente y hablo sobre lo geniales que son los anillos de funciones sobre cosas.
Ofreceré otra "explicación" para los anillos:
un anillo (ver aquí) es un monoide en la categoría monoidal de grupos abelianos (con respecto al producto tensorial estándar de grupos abelianos).
Esta perspectiva es útil en el sentido de que muestra cuáles son las generalizaciones y categorificaciones correctas de los anillos. Este es un fenómeno común: cuando deseas saber cuál de varias definiciones equivalentes es la fundamental o correcta, busca aquella para la cual puedas encontrar versiones categóricas naturales infinitas. Cuanto más natural sea un concepto, más fácil se generaliza de esta manera.
Para los anillos, notamos que la categoría de grupos abelianos es la categoría abeliana arquetípica. La versión infinita de una categoría abeliana es una categoría estable (infinito,1). La arquetípica es la (infinito,1)-categoría de espectros - Spec. Un monoide conmutativo en Spec es un "anillo infinito conmutativo" generalmente llamado un anillo E-infinito. Si es no conmutativo se llama un anillo A-infinito.
Esta es la historia sobre los anillos y su categorificación vertical. También hay conocimiento sobre la naturaleza de los anillos que se puede obtener de su categorificación horizontal:
un monoide en Ab, por lo tanto un anillo, es equivalente a una categoría enriquecida con un solo objeto sobre la categoría de grupos abelianos:
escribimos pt para el único objeto de una categoría enriquecida en Ab, entonces Hom(pt,pt) es un grupo abeliano equipado con un homomorfismo de grupos abelianos Hom(pt,pt)⊗Hom(pt,pt) --> Hom(pt,pt) que es asociativo y unital. Entonces Hom(pt,pt) es algún anillo, y todos los anillos funcionan.
Por lo tanto, una categoría enriquecida Ab general puede ser considerada como un anilloide, si lo deseas.
Si estuvieran de acuerdo en que la teoría de la representación de grupos era interesante (y si no estuvieran de acuerdo, podría cuestionar su afirmación de estar bien familiarizados con grupos...), argumentaría que pensar en módulos para el anillo de grupo C[G] es una forma muy clara de hacer teoría de la representación. (En vista previa, Manny Reyes escribió una respuesta más completa en la misma línea mientras yo empezaba esto, así que aquí me detendré.)
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