Es "$n$ es un número entero y $\frac{n}{n+1}$ es un número entero" verdadero o falso?

Question

Estoy trabajando a través de una propuesta de ejercicio

"Si $n$ es un número entero, $\frac{n}{n+1}$ no es un número entero" - puedo demostrar que esto es falso, y puedo demostrar el recíproco es falso, y puedo probar el contrapositivo es falso.

Ahora la pregunta para mostrar la negación y probar si es cierto o falso. Ya que el original es falsa por el contra ejemplo $n=0$, estoy suponiendo que la negación debe cumplirse.

La negación de la $p \implies q$$p \wedge ¬q$, por lo que la negación en este caso debe ser

"$n$ es un número entero y $\frac{n}{n+1}$ es un número entero" a la derecha?

Esto puede ser cierto ($n=0$) o false ($n=1$). Así es la declaración de la verdad o no? Supongo que no, así que la original es falsa Y la negación es falsa? muy confundido

Answer 1

La declaración de

Si $n$ es un número entero, entonces $\frac{n}{n+1}$ no es un número entero.

está estrictamente hablando ni verdadera ni falsa antes de $n$ se le da un valor concreto. Cuando dices que resultó ser falso, yo creo que lo que realmente resultó ser falso, es

Para todos los $n$ si $n$ es un número entero, entonces $\frac{n}{n+1}$ no es un número entero.

Si desea una negación de este que puede demostrar cierto, se le tiene que negar todo desplegada reclamo, dando:

Existe una $n$ tal que $n$ es un número entero y $\frac{n}{n+1}$ es un número entero.

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Alternativamente, usted puede optar por trabajar con las declaraciones que contiene variables libres, pero luego tienes que agrupar en tres clases:

A. Aquellos que son siempre verdaderos.

B. Aquellos que a veces son verdaderas y a veces falsas.

C. Aquellos que son siempre falsas.

A continuación, ambos de

• Si $n$ es un número entero, entonces $\frac{n}{n+1}$ no es un número entero.

• $n$ es un número entero y $\frac{n}{n+1}$ es un número entero.

(que son las negaciones de cada uno de los otros) pertenecen en el grupo B. Cuando se demostró que el primero "es falso", lo que realmente resultó ser que era solo eso es no en el grupo A.

Answer 2

Su confusión se encuentra implícito con cuantificadores. Si usted toma $P(n)$ a la media de$\forall n:P(n)$, entonces su negación es $\exists n:\lnot P(n)$. Usted simplemente no puede tomar la negación bajo (implícita) $\forall$ cuantificador.

Answer 3

Excepto en el caso de $n=0$ el enunciado es siempre falsa.
Supongo que la mayoría de la prueba simple es:

Si $n>0$, sabemos que el siguiente es verdadero $0 < \frac{n}{n+1} < \frac{n+1}{n+1}=1$. Por otro lado los enteros se Define como $\mathbb{Z}=\{0,±1,±2,...\}$ Así que si la declaración fuera cierto $\mathbb{Z} = \{...,-1,0, \frac{n}{n+1}, 1, ...\}$, pero esta no es la definición de los números enteros, por lo tanto, $\frac{n}{n+1}$ no es un número entero, a menos que $n=0$.