¿Sigue siendo singular Quantum Coulomb?

Question

Una sola carga libre (por ejemplo, un electrón) $q$ fijada en el origen de coordenadas tiene la conocida Potencial de Coulomb/eléctrico

$$\phi(\vec r) = \frac q{4\pi\epsilon_0}\frac 1r \tag{A}$$

donde $r=|\vec r|$ por supuesto. Sin embargo, según la Mecánica Cuántica, una partícula de masa $m$ no se puede arreglar de verdad, lo mejor que se puede conseguir es un Paquete de ondas gaussianas

$$\psi(\vec r, t) = \left({a \over a + i\hbar t/m}\right)^{3/2} \exp\left(- \frac{r^2}{2(a + i\hbar t/m)} \right) \tag{B}$$

con $a=2\Delta x(t=0)$ . Así que el potencial eléctrico debería convertirse en un valor de expectativa difuminado por esa gaussiana, y mi pregunta es si esto suaviza la singularidad en $r=0$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que, debido a la dependencia temporal de $\psi(\vec r, t)$ el potencial retardado tiene que ser considerado. Así que estamos buscando

$$\begin{align*} \langle\phi(\vec r, t)\rangle &= \int_{\mathbb R^3}d^3x \frac q{4\pi\epsilon_0}\frac{\Big|\psi(\vec x, t - \frac1c|\vec x - \vec r|))\Big|^2}{|\vec x - \vec r|} \quad\Bigg|\quad \vec x \to \vec x + \vec r \\ &= \int_{\mathbb R^3}d^3x \frac q{4\pi\epsilon_0}\frac{\Big|\psi(\vec x + \vec r, \overbrace{t - \frac xc}^{=:t_c(x)}))\Big|^2}{x} \\ &\stackrel{(B)}= \int_{\mathbb R^3} d^3x \underbrace{ \frac q{4\pi\epsilon_0}\overbrace{\Bigg|{a \over a + i\hbar t_c/m}}^{=\frac{a}{\sqrt{a^2+\hbar^2t_c^2/m^2}}=\frac{\sqrt{2a}}{\sigma}}\Bigg|^3}_{=:N} \frac{\exp\overbrace{\left(- \Re \frac{(\vec x + \vec r)^2}{(a + i\hbar t_c/m)} \right)}^{=-\frac{a(\vec x + \vec r)^2}{a^2+\hbar^2t_c^2/m^2} =: -\frac{(\vec x + \vec r)^2}{2\sigma^2(t_c)}}}{x} \end{align*}$$

El $x$ -dependencia de $t_c$ hace que esta sea una integral muy desagradable, así que tomemos el límite no relativista $c\to\infty$ tal que $t_c(x) \to t$ (o alternativamente, asumir $m\to\infty$ ). Entonces buscamos

$$\begin{align*} \langle\phi(\vec r,t)\rangle &= N\int_{\mathbb R^3}d^3x \frac{\exp\left(-\frac{(\vec x + \vec r)^2}{2\sigma^2}\right)}{x}. \tag{tk.C}\label{tk.C} \end{align*}$$

Obsérvese cómo para $\vec r=0$ podemos utilizar las coordenadas esféricas para obtener

$$\begin{align*} \langle\phi(0,t)\rangle &= 4\pi N\int_0^\infty \rho^2 d\rho \frac{\exp\left(-\frac{\rho^2}{2\sigma^2}\right)}{\rho} \\ &= -4\pi\sigma^2 N\int_0^\infty d\rho\, \partial_\rho \exp\left(-\frac{\rho^2}{2\sigma^2}\right) \\ &= 4\pi\sigma^2 N = \frac{q\sqrt{2a}^3}{\epsilon_0\sigma} \end{align*}$$

que para $\sigma\neq0$ (que daría lugar a una partícula realmente localizada que, sin embargo, se difundiría infinitamente al instante siguiente) es finita, por lo que la respuesta a la pregunta es, considerando la incertidumbre, ya no hay una singularidad .

Sobre el papel, he calculado $\eqref{tk.C}$ para terminar con un factor de corrección $\mathrm{erf}\left(\frac r{\sqrt{2\sigma^2}}\right)$ al potencial clásico de Coulomb (utilizando la transformada de Fourier con respecto al $\vec r$ intercambiando las integrales e integrando sobre $\sigma^2$ ), pero eso es demasiado tedioso para tipografiarlo por ahora, y hay un error de signo en alguna parte...

Answer 2

Se supone que debo responder a su pregunta para publicarla aquí, pero, realmente no hay manera de responder a su pregunta. Para responder a una pregunta que podría haber hecho: Sí, los electrones tienen que tener un momento de desprestigio. Pero, esa no es la cuestión "real". Siempre puedes ponerlos en un pozo de potencial. Si la mecánica cuántica no relativista "funcionara" entonces podrías localizar los electrones/carga tan bien como quisieras, y así tener un potencial tan divergente como quisieras. Pero, hay dos objeciones a esto, la mecánica cuántica relativista especial y la relatividad general. Si localizas un electrón en una región lo suficientemente pequeña - tan pequeña que su energía de enlace $E_b$ está cerca de su masa en reposo, $-E_b\sim m_ec^2$ Hay que pensar en él como un campo cuántico relativista, y como una mezcla de electrones y positrones. Estos se tratan utilizando la electrodinámica cuántica, y (bueno) sería razonable en ese contexto afirmar que tienen un potencial infinito (diferentemente infinito, pero todavía infinito) en el origen.

En la relatividad general, por otro lado, se encontraría que si (digamos) se toma una cáscara clásica con una masa y una carga y un radio, y se disminuye lentamente el radio, entonces el potencial, el campo eléctrico y todo se vuelve muy grande, con una energía o masa muy grande. Cuando esa masa se hace lo suficientemente grande, el sistema se convierte en un agujero negro cargado. Entonces no hay "origen", sólo la superficie del agujero negro. El potencial en la superficie del agujero negro es finito. Y la masa más pequeña posible es enorme, comparada con la masa de un electrón.

Y, en realidad, no lo sabemos finalmente. No sabemos cómo la mecánica cuántica y la relatividad general funcionan juntas. Así que, finalmente no lo sabemos.