Límite de $\int _{\frac{1}{n}}^n \frac{\arctan x}{x^2 + 2ax + 1}dx$ sin expansión de Taylor

Question

Considere la posibilidad de $$I_n(a) = \int _{\frac{1}{n}}^n \frac{\arctan x}{x^2 + 2ax + 1}dx, n\ge 1, a \in [0, 1)$$

Evaluar

$$\lim _{n \to \infty} I_n(a), \: a \in (0, 1)$$

Una cosa que he encontrado es que

$$\int _{\frac{1}{n}}^n \frac{\arctan x}{x^2 + 2ax + 1}dx = \int _{\frac{1}{n}}^n \frac{\arctan \frac{1}{x}}{x^2 + 2ax + 1}dx$$

También, sé que $\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}, \forall x > 0$.

No pude más con ese método, así que he intentado esto.

$$\frac{1}{n} \le x \le n$$ $$\arctan \frac{1}{n} \le \arctan x \le \arctan(n)$$

así que deduje $$I_n(a) \le \frac{\pi}{2} \int _{\frac{1}{n}}^n \frac{dx}{x^2 + 2at + 1} \:(1)$$

El discriminante del denominador es $4 (a^2 - 1) \le 0 \: \forall a \in [0, 1)$, lo $(1)$ se convierte en

$$I_n(a) \le \int _{\frac{1}{n}}^n \frac{dx}{(x+a)^2 + \sqrt{\frac{1-a^2}{a}}^2}$$

Tengo que llegar a la respuesta $$\frac{\pi}{4 \sqrt{1-a^2}} \arctan \frac{\sqrt{1-a^2}}{a}$$

Answer 1

Usted está casi allí. Desde $$ I_n(a)=\int_{1/n}^n\frac{\arctan x}{x^2+2ax+1}\,dx =\int_{1/n}^n\frac{\arctan (1/x)}{x^2+2ax+1}\,dx $$ y $$ \arctan x+\arctan(1/x)=\frac\pi2 $$ usted encontrará que $$ 2I_n=\int_{1/n}^n\frac{\arctan x+\arctan(1/x)}{x^2+2ax+1}\,dx =\int_{1/n}^n\frac{\pi/2}{x^2+2ax+1}\,dx. $$ Por lo tanto $$ I_n(a)=\frac\pi4\int_{1/n}^n\frac{1}{x^2+2ax+1}\,dx =\frac{\pi}{4}\Bigl[\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}\arctan\frac{a+x}{\sqrt{1-a^2}}\Bigr]_{1/n}^{n}. $$

Inserte los límites, tomar el límite de $n\to+\infty$ y por último el uso de $\arctan x+\arctan(1/x)=\pi/2$ más, y listo.