Demostrando integralidad de una secuencia de números

Question

¿Cómo uno va sobre probar si o no en los términos de una secuencia como la siguiente $$1, 1, 1, 1, 1, 6, 21, 181, 5221, 1090981, 986241401, 51490676208426,\ldots$$ definido por $$a_na_{n-5}=a_{n-1}(a_{n-2}+a_{n-3}+a_{n-4})+a_{n-2}(a_{n-3}+a_{n-4})+a_{n-3}a_{n-4},$$ con $a_1=a_2=\ldots=a_5=1$, son siempre números enteros? He comprobado los 50 primeros términos usando Mathematica, pero los números se hacen enormes bastante rápido y mi pobre pc no se puede calcular mucho más que eso.

Por cierto, en el caso general $$a_na_{n-k}=a_{n-1}(a_{n-2}+\ldots+a_{n-k+1})+a_{n-2}(a_{n-3}+\ldots+a_{n-k+1})+\ldots+a_{n-k+2}a_{n-k+1},$$ con $a_1=a_2=\ldots=a_k=1$, parece ser el caso de que las secuencias generadas con incluso $k$ rápidamente no-términos enteros.

Realated: Somos secuencias.

Answer 1

Desde la Sección 7.6 de Alman, Cuenca y Huang, me extraer la siguiente prueba sin comprender:

Definir $$b_m = \frac{a_m + a_{m+1} + a_{m+2} + a_{m+3} + a_{m+4}}{a_{m+1} a_{m+3}}.$$

Un sistema de álgebra computacional, se comprueba que $b_m = b_{m+2}$ (esto es sólo una igualdad entre dos funciones racionales de $(a_m, a_{m+1}, a_{m+2}, a_{m+3}, a_{m+4})$.) En nuestro caso, $b_i$ suplentes $5$, $10$, $5$, $10$, etcétera.

En particular, tenemos la recursividad $$a_{m+4} = (\mbox{$5$ or $10$}) \cdot a_{m+1} a_{m+3} - a_m - a_{m+1} - a_{m+2} - a_{m+3}$$ cuyos valores son claramente integral.

Answer 2

Este es el Teorema 3.9.(6) de Alman, Cuenca y Huang con $n=5$$A=B=0$. Me temo que no entiendo su prueba lo suficientemente bien como para decir más.

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Me pueden decir un poco más para llenar en su contexto. Todo lo que estoy diciendo es que también en la introducción a Alman, Cuenca y Huang. Una fuerte propiedad de integralidad es Laurentness: Definir las funciones racionales $x_i$ haciendo $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$ variables formales y, a continuación, configuración de $$x_n = \frac{\sum_{1 \leq i < j \leq 4} x_{n-i} x_{n-j}}{x_{n-5}}.$$ Laurentness es la afirmación de que todas estas funciones racionales tienen denominadores que son monomials en $(x_1, \ldots, x_5)$. En particular, se conecte $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (1,1,1,1,1)$, entonces todos los términos son parte integral de

Fomin y Zelevinsky, en su "caterpillar lema" describir un general recursiva configurar con las siguientes propiedades: Uno empieza con $((x_1, \ldots, x_n), (P_1, \ldots, P_n)$ donde $P_i$ son polinomios en el $x_i$ obedeciendo a ciertas compatabilities. Uno, a continuación, elige un índice $i$ a "mutar" en. Uno reemplaza $(x_1, \ldots, x_n)$ $(x_1, \ldots, x_{i-1}, x'_i, x_{i+1}, \ldots, x_n)$ donde $$x'_i = \frac{P_i(x_1, \ldots, x_n)}{x_i}.$$ También reemplaza $(P_1, \ldots, P_n)$ modificado por polinomios de acuerdo a una receta que es muy complejo de hacer. La oruga lema dice entonces que, no importa cómo muchas veces usted realizar esta operación, usted recibirá $x$'s que están Laurent en el original $(x_1, \ldots, x_n)$. Lam y Pylyavskyy hecho ciertas mejoras técnicas en Fomin y Zelevinsky, y ACH en realidad el uso del Lam-Pylyavskyy formalismo.

En particular, suponga que la FZ receta, cuando la mutación en $x_1$, vuelve $(P_1, P_2, \ldots, P_n)$ a $(P_n, P_1, P_2, \ldots, P_{n-1})$. Uno podría entonces periódicamente mutar a $1$, $2$, $3$, ..., $n$, $1$, $2$, ..., $n$, ... a continuación, recibirá una secuencia $x_1$, $x_2$, ..., que obedece a la Laurentness de la propiedad, que se define por la recursividad $$x_m = \frac{P_1(x_{m-n+1},\ldots, x_{m-1})}{x_{m-n}} \quad (\ast).$$ A la inversa, dada una Laurent secuencia de la forma $(\ast)$, uno puede preguntarse si $P_1$ puede ser extendido a un $n$-tupla $(P_1, \ldots, P_n)$ por lo que el de la FZ operación convierte en $(P_n, P_1, P_2, \ldots, P_{n-1})$.

Cuando esto se puede hacer, Alman, Cuenca y Huang decir que $P_1$ $1$- periódico. Dan un algoritmo para comprobar si un polinomio es $1$-periódico, y el Teorema 3.9 listas de varios casos que han descubierto el uso de su algoritmo.