Deje $n$ ser un entero positivo. Supongamos que $2^n$ $5^n$ comienzan con el mismo dígito. ¿Cuál es el dígito?

Question

Deje $n$ ser un entero positivo. Supongamos que $2^n$ $5^n$ comenzar con el mismo dígito. ¿Cuál es la degit?

Tengo un poco de dificultades para iniciar el problema. Es que nadie es capaz de darme una pista? Por favor os pido que no me dan la solución a la pregunta; quiero resolver por mí mismo.

Yo ya sé que el método que es la simple mecánica; no es interesante. El método en el que ponemos a prueba algunos de valor de $n$, y finalmente nos encontramos con $n=5$ respetando condición. Acabo de tener una más ingenioso método. Podría ser cualquier otro número distinto de los tres que cumplen la condición. Es que nadie es capaz de encontrar un riguroso e interesante método. Ya sé que la sugerencia $2^n 5^n = 10^n$, pero no sé qué hacer con esto.

Answer 1

Suponga que $$ 2^n = (c+r_1)\cdot 10^u,\qquad 5^n = (c+r_2)\cdot 10^v \tag{1}$$ con $c\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ y $r_1,r_2\in [0,1)$. $(1)$ implica: $$ 10^n = (c+r_1)(c+r_2)\cdot 10^{u+v} \tag{2}$$ por lo tanto $c$ puede ser sólo el primer dígito de $\sqrt{10}$, es decir,$3$, o el primer dígito de $\sqrt{100}$, es decir,$1$.

El segundo caso es fácil excluir como se ha señalado por Nate en los comentarios.

Answer 2

Los primeros dígitos de los poderes NO son periódicas, el período de tiempo se rompe abajo :

? for(j=0,100,print1(digits(2^j)[1]," "))
1 2 4 8 1 3 6 1 2 5 1 2 4 8 1 3 6 1 2 5 1 2 4 8 1 3 6 1 2 5 1 2 4 8 1 3 6 1 2 5
1 2 4 8 1 3 7 1 2 5 1 2 4 9 1 3 7 1 2 5 1 2 4 9 1 3 7 1 2 5 1 2 4 9 1 3 7 1 3 6
1 2 4 9 1 3 7 1 3 6 1 2 4 9 1 3 7 1 3 6 1

? for(j=0,100,print1(digits(5^j)[1]," "))
1 5 2 1 6 3 1 7 3 1 9 4 2 1 6 3 1 7 3 1 9 4 2 1 5 2 1 7 3 1 9 4 2 1 5 2 1 7 3 1
9 4 2 1 5 2 1 7 3 1 8 4 2 1 5 2 1 6 3 1 8 4 2 1 5 2 1 6 3 1 8 4 2 1 5 2 1 6 3 1
8 4 2 1 5 2 1 6 3 1 8 4 2 1 5 2 1 6 3 1 7

Así, el argumento con el período en que no es válida, pero Tomas de prueba parece ser completa.