Existe $v_0 \in V$ tal que $\forall v \in V \space\space T(v)=\lambda v+ \alpha(v) v_0$

Question

Deje $V$ ser un espacio vectorial y $\lambda$ constante de un número real. Supongamos que $T: V \to V$ es lineal en el mapa y $\alpha: V \to \mathbb R$ es un funcional lineal en $V$.
Supongamos que para cada $v \in Ker(\alpha)$ tenemos $T(v)=\lambda v$.

Probar que: existe $v_0 \in V$ tal que $\forall v \V espacio \\espacio T(v)=\lambda v+ \alpha(v) v_0$

Yo estoy completamente a ciegas! No sé por dónde empezar! La pregunta dice que si $v \in Ker(\alpha)$, $T(v)=\lambda v$. Por lo tanto, Si $\alpha(v)=0$,$T(v)=\lambda v$. Pero, ¿cómo se relaciona con la existencia de $v_0$?

Answer 1

Considere la posibilidad de que el operador $T - \lambda I$ (donde $I \colon V \rightarrow V$ es la identidad del operador). Si $T - \lambda I = 0$, tome $v_0 = 0$. Si $T - \lambda I \neq 0$, elija $u_0 \in V$ tal que $(T - \lambda I)(u_0) \neq 0$. Tenga en cuenta que esto implica que $u_0 \notin \ker(\alpha)$, por lo que mediante la sustitución de $u_0$ $\frac{u_0}{\alpha(u_0)}$ podemos asumir que $\alpha(u_0) = 1$. Set$v_0 = (T - \lambda I)(u_0)$, por lo que tenemos

$$ T(u_0) = \lambda u_0 + v_0. $$

Finalmente, para cualquier $v \in V$ hemos

$$ T(v) = T(v - \alpha(v) u_0 + \alpha(v) u_0) = T(v - \alpha(v) u_0) + T(\alpha(v) u_0) = \\ \lambda(v - \alpha(v) u_0) + \alpha(v) (\lambda u_0 + v_0) = \lambda v + \alpha(v) v_0$$

como se requiere (donde hemos utilizado el hecho de que $v - \alpha(v) u_0 \in \ker(\alpha)$$T(v - \alpha(v) u_0) = \lambda (v - \alpha(v) u_0)$).