Nota: Tenga en cuenta que esta respuesta era inicialmente incorrecta. Gracias a littleO que llaman la atención sobre mi error. El argumento esencial al final se basa ahora en la respuesta ya expuesta por Ewan Delanoy . Así que, de hecho, la prueba de Trefethen sigue siendo misterioso para mí también :-;
No estoy seguro de que los argumentos de Trefethen sobre la parte de la prueba que te interesa sean suficientes.
Para poder considerar el texto con detenimiento, en el párrafo siguiente se cita textualmente la parte pertinente de la demostración del Teorema 4.1 de su Álgebra lineal numérica .
De Numerical Linear Algebra, parte de la demostración del teorema 4.1 (Trefethen):
En primer lugar, observamos que $\sigma_1$ se determina unívocamente por la condición de que sea igual a $\left\Vert A\right\Vert_2$ como se deduce de $(4.4)$ . Supongamos ahora que, además de $v_1$ existe otro vector linealmente independiente $w$ con $\left\Vert w\right\Vert_2=1$ y $\left\Vert Aw\right\Vert_2=\sigma_1$ . Definir un vector unitario $v_2$ ortogonal a $v_1$ como combinación lineal de $v_1$ y $w$ , $$v_2=\frac{w-\left(v_1^{\ast}w\right)v_1}{\left\Vert w_1-\left(v_1^{\ast}w\right)v_1\right\Vert_2}$$ Desde $\left\Vert A\right\Vert_2=\sigma_1$ , $\left\Vert Av_2\right\Vert_2\leq\sigma_1$ pero esto debe ser una igualdad, porque de lo contrario, ya que $w=v_{1}c+v_{2}s$ para algunas constantes $c$ y $s$ con $\left\vert c\right\vert^2+\left\vert s\right\vert^2=1$ tendríamos $\left\Vert Aw\right\Vert_2<\sigma_1$ .
Analicemos los argumentos de Trefethen con relativo detalle:
Primer paso: Situación inicial
Sabemos desde el principio de la prueba (no expuesto aquí) que existe un vector $v_1$ con $\left\Vert v_1\right\Vert_2=1$ y también fijamos $\sigma_1=\left\Vert A\right\Vert_2$ . De acuerdo con el texto anterior, suponemos además que este vector es un vector singular con $\left\Vert Av_1\right\Vert_2=\sigma_1$ .
Segundo paso: Unicidad mediante argumento indirecto
Consideramos ahora (argumento indirecto) cualquier vector $w$ que es linealmente independiente de $v_1$ y que cumple además $v_1$ , $\left\Vert w\right\Vert_2=1$ y $\left\Vert Aw\right\Vert_2=\sigma_1$ .
Tercer paso (idea principal de la prueba): Crear un vector singular $v_2$ violando el supuesto de distinción de los valores singulares establecido en el teorema
Partiendo de la base de que $\left\Vert Aw\right\Vert_2=\sigma_1$ creamos un segundo vector singular $v_2$ que también cumple $\left\Vert Av_2\right\Vert_2=\sigma_1$ por lo que viola la condición previa de distinción de los valores singulares.
Desde $v_1$ y $w$ son linealmente independientes, podemos crear (por ejemplo, con Gram-Schmidt) un vector $v_2$ con $\left\Vert v_2\right\Vert =1$ y que es ortogonal a $v_1$ . Dado que todos los vectores $u$ con $\left\Vert u\right\Vert =1$ cumplen por definición (del supremum) $\left\Vert Au\right\Vert_2 \leq \left\Vert A\right\Vert_2$ obtenemos $\left\Vert Av_2\right\Vert_2 \leq \left\Vert A\right\Vert_2=\sigma_1$ .
Ahora, con la ayuda de $w$ w $v_2$ incluso tiene que cumplir $\left\Vert Av_2\right\Vert_2 = \left\Vert A\right\Vert_2=\sigma_1$ ya que si no $\left\Vert Av_2\right\Vert_2 <\sigma_1$ obtenemos
\begin{align} \left\Vert Aw_2\right\Vert_2^{2}&=\left\Vert A(c v_1+s v_2)\right\Vert^{2}_2\\ &\leq\left\vert c\right\vert^2\left\Vert Av_1\right\Vert_2^2+2\mathsf{Re}\left(c\bar{s}\left<Av_1,Av_2\right>\right)+\left\vert s\right\vert^2\left\Vert Av_2\right\Vert_2^2\\ &=\left\vert c\right\vert^2\sigma_1^2+\left\vert s\right\vert^2\underbrace{{\left\Vert Av_2\right\Vert_2^2}}_{<\sigma_1^2}\qquad(\ast)\\ &<\sigma_1^2\left(\left\vert c\right\vert^2+\left\vert s\right\vert^2\right)\\ &=\sigma_1^2 \end{align}
y esto contradice nuestra suposición de que $\left\Vert Aw_2\right\Vert_2=\sigma_1$ .
Así que tenemos un segundo vector singular $v_2$ con $\left\Vert Av_2\right\Vert_2=\sigma_1$ y esto viola la condición de distinto valores singulares indicados en el teorema.
Tenga en cuenta que en la línea ( $\ast$ ) el argumento esencial de Ewan Delanoy que establece que $Av_1$ y $Av_2$ son ortogonales y por lo tanto el producto interior desaparece se utiliza. No veo un argumento adecuado en la prueba de Trefethen, que podría utilizar en su lugar.
