En el modelo de la teoría, uno normalmente se define sólo incrustaciones de estructuras y isomorphisms, pero no he visto una definición de la estructura general homomorphisms. ¿Hay alguna razón en particular detrás de todo esto? Por supuesto, hay un montón de teorías cuya típico homomorphisms de sus respectivos modelos no proporcionan a los bien portados categorías (por ejemplo, la categoría de los campos), pero al menos en algunos casos especiales (tal vez en un sentido universal axiomatized teorías), debería ser posible aplicar la categoría de la teoría de las construcciones a las modelos, que se podrían beneficiar de la teoría.
Respuesta
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Soy consciente de dos nociones de homomorphism (antiguo que he encontrado en mis clases de introducción a la lógica y el modelo de la teoría, la última que he visto en un libro de texto de lógica).
El habitual, que la he visto también llamado fuerte homomorphism, es una función de $\Phi\colon M\to N$ entre dos estructuras de la misma firma, tales que:
- Para cualquier constante símbolo $c$ tenemos $\Phi(c^M)=c^N$.
- Para cualquier símbolo de función $f$ tenemos $f^N(\Phi(x))=\Phi(f^M(x))$ para todas las tuplas $x$ de la longitud adecuada.
- Para cualquier relación símbolo $r$ tenemos $r^N(\Phi(x))\iff r^M(x)$ para todas las tuplas $x$ de la longitud adecuada.
A continuación, puede definir un monomorphism, epimorphism, y el isomorfismo de la manera habitual, y el rango de un homomorphism siempre será una subestructura, y para monomorphisms, la estructura va a ser isomorfo con el inicial. Primaria de la incrustación es sólo un monomorphism cuyo rango es de una primaria submodel.
El otro (débil homomorphism) es donde en el tercer punto de que sólo piden $r^M(x)\implies r^N(\Phi(x))$ (y no al revés). Para algebraica de las estructuras de los dos coinciden, por supuesto.
Por supuesto, arbitraria homomorphisms no conserva las propiedades de primer orden en general, así que rara vez se considera en general el modelo de la teoría, y no son realmente naturales noción de morfismos de modelo puro-punto de vista teórico. Por otro lado, un monomorphism de una estructura a una (elementarily equivalente), estructura con la eliminación de cuantificador será automáticamente primaria de la incrustación.
En lugar de ello, existe la noción de primaria de la incrustación, y tal vez lo más importante de primaria de la función parcial. Usted probablemente podría definir la noción de parcial homomorphism, pero que sería bastante complicada, definición recursiva y dudo que realmente nos acercan a funciones elementales en el contexto general.
Dicho esto, tiene sentido considerar la categoría de los modelos de una teoría completa, con primaria mapas como morfismos. Ver por ejemplo este artículo de Lascar.
