Integral de línea, Trabajo en física

Question

Hola a todos: tengo un problema!

Necesito encontrar el trabajo realizado sobre una partícula que se mueve de $(0,0)$ a un punto de $(1,1)$ por un estrecho de la línea de $y=x$. La fuerza que actúa sobre la partícula es $F = (y , 2x$).

Ahora, ¿cómo me han tratado el problema es que paramaterized la línea de $x = y$ $r = < t, t >$ dejando $x = t$, lo que significa que $y = t$. (Tengo la esperanza de que esta es la manera de hacerlo, ha sido un tiempo desde que lo he hecho esa clase de matemáticas)

Sé que la fórmula de trabajo es: La integral de $F\cdot dr$ - lo que significa que tengo que diferenciar $r$ conseguir $dr = < 1, 1>$, a continuación, encontrar la fuerza que actúa sobre la partícula usando $F$ y las partículas posición de $(x,y)$ $(1,1)$ (es decir, lo he sustituido este punto en $F$) por $F= (1,2)$.

Luego de tomar el producto escalar entre los dos llego $3$. Luego de tomar la integral entre a $1$ $0$ tengo la respuesta para ser $3$. Ahora la respuesta en el libro de texto dice que la respuesta es $1.5$ :( bummer.

Donde he ido mal? Necesito paramiterise F de manera diferente? o.. me dno ??? :S

Answer 1

En una notación diferente (ver más abajo) y sin hacer la parametrización en el uso de $x$ como parámetro.

El trabajo $W$ llevado a cabo por la fuerza de $\overrightarrow{F}= y\overrightarrow{i}+2x\overrightarrow{j}$ que actúa sobre la partícula cuando se mueve de a $P(0,0)$ $Q(1,1)$a lo largo de la línea de $\gamma :y=x$ (ver foto), está dada por la integral

$$\begin{eqnarray*} W &=&\int_{\gamma }\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{dr}\qquad \gamma :y=x,\text{ from }P(0,0)\text{ to}\;Q(1,1) \\ &=&\int_{\gamma } \left( y\overrightarrow{i}+2x\overrightarrow{j} \right) \cdot \left( dx\overrightarrow{i}+dy\overrightarrow{j}\right) \\ &=&\int_{\gamma }y\text{ }dx+2x\text{ }dy,\qquad y=x,\; \; dy=dx \\ &=&\int_{0}^{1}3x\text{ }dx \\ &=&3\int_{0}^{1}x\text{ }dx=3\times \left. \frac{x^{2}}{2}\right\vert _{0}^{1}=3\times \frac{1}{2}=1.5. \end{eqnarray*}$$

Notación:

1. $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}$ es el producto escalar de los vectores $\overrightarrow{u}$$\overrightarrow{v}$. Anteriormente fue utilizado en $$ \left( y\overrightarrow{i}+2x\overrightarrow{j}\right) \cdot \left(dx\overrightarrow{i}+dy\overrightarrow{j}\right) =y\;dx+2x\;dy.$$
2. $\overrightarrow{i}$ $\overrightarrow{j}$ son los vectores de la unidad de longitud en la dirección positiva de $x$ $y$ ejes, respectivamente.

Answer 2

Dado son $$F = (x,2y) \ , \ r = (x,y) \ , \ dr = (dx,dy) $$

El camino es $(t,t) , t \in [0,1]$. Poner $x=t=y$ y, a continuación, $$F = (t,2t) \ , \ dr = (dt, dt) $$ y, a continuación, el producto escalar es $$F \cdot dr = tdt + 2tdt = 3tdt $$

Tenga en cuenta que $\int_0^1 t dt = \frac{t^2}{2} |_0^1 = \frac{1}{2}$. Esta es, probablemente, donde se cometió el error.