La confusión sobre el uso de puntos vs vectores

Question

Tan lejos como las definiciones de ir, entender la diferencia entre un vector y un punto. Un vector puede ser traducido y aún el mismo vector, mientras que un punto fijo. Pero me gustaría alguna aclaración sobre el uso de vectores y el uso de puntos, porque parece que en muchos casos son utilizados indistintamente. Por ejemplo:

1. Siempre ha sido mi entender, que además no está definida para los dos puntos. Pero en esta pregunta, dos puntos que se añaden juntos en esta ecuación:

   $\overline{C}= \lbrace tx+(1-t)x': x\in C, x' \in C', t\in [0,1]\rbrace$

2. A veces $\mathbb{R}^n$ es usado para denotar el conjunto de $n$ dimensiones de los vectores, y a veces denota el conjunto de puntos en $n$ espacio tridimensional.
3. En cálculo vectorial, se dice a menudo que una función con múltiples entradas toma un vector como entrada, pero rara vez he visto una función escrita como $f(\vec{v})$. Aunque entiendo que lo que quiere decir es, el vector que se origina en el origen, a mí, que no parece del todo correcto decir que la entrada es un vector sin diciendo explícitamente que el vector de la cola está en el origen.

¿Alguien puede aclarar estos puntos de confusión? Son el punto y el vector intercambiables en estos casos? También, hay una notación para la "conversión" de uno a otro? E. g. cómo "convertir" $\langle{x,y,z}\rangle$ $(x,y,z)$o viceversa?

Answer 1

Voy a tratar de convencerte de que son geométricamente obviamente muy diferentes, pero cuando se trata de nombres de ellos, el de comenzar a buscar similares :)

Geométricamente usted probablemente ya tiene una buena imagen de lo que un punto es: es sólo la noción primitiva de un punto que en la geometría. Es decir, una sola adimensional ubicación en el espacio.

Un vector debe ser considerado como que tiene dos cualidades: un rayo que tiene dirección y magnitud. En álgebra vectorial básica en $\Bbb R^n$, nos enteramos de que un rayo puede deslizar alrededor de $\Bbb R^n$, y como siempre que no cambiar la dirección o la longitud de los rayos, todavía es el mismo vector.

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Ahora, cuando se trata de nomenclatura de estas dos cosas, empiezan a buscar por igual!!! Con coordenadas Cartesianas, puntos en $\Bbb R^n$ son etiquetados por sus proyecciones en los ejes, y que crea una lista de números reales. Del mismo modo, cuando vamos sobre el nombramiento de los vectores, tenemos este convenio de deslizamiento, el vector, de modo que es emitida desde el origen, y luego comprobamos para ver en qué punto está en punta de flecha. El vector es nombrado después de este punto.

Así que en ambos casos, una lista similar de los números reales que se utiliza para identificar el objeto. Dado que este es el caso, es común que acaba de empezar hace referencia a cualquier ordenó $n$-tupla de las cosas del campo (como $\Bbb R$) como un "vector", incluso si no estamos pensando en él como un rayo en esa aplicación.

Un ejemplo es el de campos vectoriales. Ya que estas son funciones de la posición, los insumos que se toman son puntos de $\Bbb R^n$ (que se ven como una ordenó $n$-tupla). Las salidas son los vectores (que de nuevo el aspecto de un ordenado $n$-tupla), pero estamos en la interpretación de estos como los vectores que representan, se deslizó desde el origen hasta el punto en que nos encontremos.

Usted puede, por supuesto, realmente han vector de entradas! Por ejemplo, la longitud de un vector en $\Bbb R^n$ crea una función de los vectores en $\Bbb R$. Por supuesto, la misma función podría ser reinterpretada como la distancia a cero de la función en puntos de $\Bbb R^n$.

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Así, la diferencia es todo en la forma de la interpretación que de la lista de números.

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Para el #1 en su mensaje, usted está pensando probablemente que es el segmento de recta entre los puntos de $x$$x'$. Además de que es de adición de vectores, aunque. Dibujar los vectores $x$ $x'$ representan, puede ver usted tiene dos vectores que se extiende desde el origen a estos dos puntos. Para cualquiera de los dos vectores $v,w$, $v-w$ se obtiene el vector que encaja entre las dos puntas de $w$$v$, y apunta a la punta de $v$. Así, se puede ver que $x-x'$ tiene el punto de $x$ sobre su punta.

Lo que hace el $t$ contribuir? Si usted multiplicar $xt+(1-t)x'=x'+t(x-x')$, se puede ver que el vector $x-x'$ está siendo ampliado por $t$ a algo más corto y, a continuación, se está concatenado con la punta de $x'$. La punta de la flecha que le da otro punto sobre el segmento. Van más de todos los $t$ entre 0 y 1, se obtiene los vectores apuntan a que todos los puntos de ese segmento.

Answer 2

1. Es cierto que además no es definido por los puntos. Pero sustracción puede ser definido (para espacios planos, al menos), y a continuación se da un vector: Si $A$ $B$ son puntos, a continuación, $v=B-A$ es el vector que apunta desde $A$$B$. También se puede agregar un vector a un punto, dando otro punto (es decir, el punto donde el vector de extremos si inicia en el punto dado). Así que para el vector $v$ desde arriba, $A+v=B$.

   Ahora, los puntos en el segmento de línea recta de $A$ $B$tiene la forma$A+t(B-A)$$t\in[0,1]$. Ahora, si usted ignora que usted está tratando con diferentes tipos y aplicar la aritmética normal leyes, usted puede expandir $t(B-A)=tB-tA$ y, a continuación, el factor de $A-tA=(1-t)A$. Como está escrito, no tiene sentido con puntos y vectores, como se define arriba.

   Sin embargo también hay otra manera de verlo: Usted puede identificar cada punto con el vector desde el origen hasta ese punto. Tan pronto como usted hace eso, usted tiene sólo vectores, y por lo tanto se puede aplicar todas las operaciones vectoriales. La expresión que he visto que hace de la sensación inmediata en ese caso, debido a que, básicamente, ha prescindido de los puntos.

   Por último, hay otra manera de pensar, que combina las ventajas de ambos: Agregar un número adicional a las tuplas, que tiene el siguiente significado:

   • Si es 1, tienes un punto.
   • Si es 0, se tiene un vector.
   • Cualquier otro valor no es válido.

   A continuación, puede permitir cualquier operación donde se obtiene una válida (es decir, el vector o punto). Por ejemplo, en 2 dimensiones, tendrías $A=(a_1,a_2,1)$ (el final de la $1$ marcado como punto), y $B=(b_1,b_2,1)$ (de nuevo, un punto). Ahora $A+B$ no sería permitido (último componente $2$), pero $A-B$ es permitido y le da un vector (último componente $0$). Y la fórmula en cuestión da como último componente $(1-t)+t=1$, por lo que es válido y un vector.

   Nota, sin embargo, que todas esas cosas que sólo funcionan en espacios planos con coordenadas lineales. En la no-espacios planos generales o de las coordenadas usted no será capaz de hacer tal identificación (o incluso para definir el vector de un punto a otro).

2. $\mathbb{R}^n$ es el conjunto de n-tuplas de números reales, no más y no menos. Ahora, junto con una operación $+:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ y una operación $\cdot:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ que cumplir ciertas relaciones, se obtiene el espacio vectorial $(\mathbb{R}^n,+,\cdot)$. Si la oferta otras operaciones, se puede conseguir algo diferente. Ahora es muy común que para escribir sólo el conjunto cuando te refieres a la completa estructura algebraica, lo que significa que el resto de la estructura está implícita. Así que si usted habla sobre el espacio vectorial $\mathbb{R}^n$ realidad significa "el espacio vectorial se obtiene si se utiliza $\mathbb{R}^n$ junto con la elección canónica de componente-sabios de la suma y la multiplicación escalar". Si usted habla acerca de los puntos como $\mathbb{R}^n$, por supuesto, que normalmente no consideramos el espacio vectorial estructura incluidos.

3. Una función puede operar sobre vectores, puntos, o simplemente en $n-tuples$. Todos estos conceptos tienen sentido. Una función en puntos podrían ser, por ejemplo, un mapa de temperatura: Cada punto se asigna a la temperatura en ese punto. Aquí, no tendría sentido considerar como función de un vector (excepto si la identificación de los puntos con vectores, ver arriba). Una función de los vectores podría ser, por ejemplo, la función que indica la longitud del vector. Que función tiene sentido sólo en vectores, no en puntos. Y por supuesto, cualquier función en $n$ argumentos opera en $n-tuples$. Si usted describir sus puntos o vectores con $n-tuples$, te voy a dar la función en aquellos argumento como $n-tuples$. En el reverso, ya que los cálculos son lineales, lineales y espacios vectoriales espacios (de hecho, ambos son dos nombres para la misma cosa), siempre que se hagan derivaciones en un multi-argumento de la función, se puede interpretar que el argumento de la tupla como un vector.

Usted puede "convertir" a un punto de un vector restando el origen (que es un punto), y se puede "convertir" a un vector de un punto mediante su inclusión en el origen.

Answer 3

La diferencia más importante entre un vector y un punto es que los vectores pueden ser añadidos, mientras que los puntos no. En su lugar, usted puede tomar dos puntos y "restar" para obtener el vector entre ellos, y añadir un punto a un vector y obtener un nuevo punto. Realmente no hay una noción de un vector de "cola": en cierto sentido, un vector sólo representa la diferencia entre la cabeza y la cola.

Cuando hablamos de un (real), vector, normalmente nos referimos a un elemento de $\Bbb{R}^n$, que nosotros damos de las componentes de la adición y la multiplicación. Un punto es un elemento de un espacio afín $\Bbb{R}^n$. Sin embargo, si imponemos las coordenadas en la que afín de espacio, lo cual es equivalente a seleccionar un solo punto del espacio afín y llamando a los de origen, se obtiene una correspondencia entre puntos y vectores. Así que en la pregunta 1, los puntos se pueden añadir, porque están en un sistema de coordenadas, y. Del mismo modo, en la pregunta 2, puesto afín espacios están tan estrechamente relacionados con los espacios vectoriales, podemos utilizar la misma notación para ambos.

Respecto a tu pregunta tres, la notación $\vec{v}$ es realmente útil para evitar la confusión, pero, en la mayoría de los casos donde la confusión entre los vectores y escalares es poco común, es innecesario.

Nota tanto que un vector puede ser definido de forma más general como un elemento de un espacio vectorial, que es una noción mucho más general que acaba de $\Bbb{R}^n$, y que el "punto" puede referirse a los elementos de una mucho más amplia variedad de espacios, como espacios topológicos o afín variedades.

Answer 4

En general, los puntos no tienen que sentarse en un espacio vectorial, y en ese contexto se vuelven diferentes. Pero cuando se trata de puntos acostado en un espacio vectorial, no veo por qué no pudo definir suma de puntos en un espacio vectorial como la suma de los vectores desde el origen a esos puntos. Si no es así, son naturalmente isomorfos - los puntos están en bijection con los vectores, y la adición de dos vectores antes de convertirlos en puntos no pueden ser distinguidos de giro de dos vectores en puntos y la adición de ellos. Es una diferencia de la semántica en sí, pero claramente no es una diferencia significativa de la semántica, y me resulta muy útil, por ejemplo, pensar en un polinomio como un conjunto de vectores, sus raíces y cualquier factor de una ecuación cuadrática sin una raíz real.