He leído en Wikipedia que
$$\cos (\pi\cos (\pi \cos (\log (20+\pi)))) \approx -1$$
a un alto grado de precisión. ¿Por qué es esto cierto? Es pura coincidencia o es que hay algunos matemáticos de fondo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Es bien conocida la coincidencia de que
$$e^{\pi}-\pi \approx 20$$
El uso de este, nos encontramos con
$$e^{\pi}-\pi \approx 20 \implies \pi\approx \log ( 20+\pi)$$
entonces
$$-1 =\cos (\pi) \approx \cos(\log ( 20+\pi))$$
$\cos (-\pi)=-1$, por lo que una aproximación más cercana de $-1$ se puede encontrar con
$$-1 =\cos(\pi\cos (\pi)) \approx \cos(\pi\cos(\log ( 20+\pi)))$$ y de nuevo
$$-1 =\cos(\pi \cos(\pi\cos (\pi))) \approx \cos(\pi\cos(\pi\cos(\log ( 20+\pi))))$$
De hecho, si $x_0 \approx -1$ $x_n=\cos (\pi x_{n-1})$ $$\lim_{n \to \infty}x_n=-1$$
