Demostrar que existe una secuencia de Cauchy, acuerdo espacio métrico, topología de la convergencia de pointwise

Question

Dado un espacio métrico compacto $(X,d)$, consideramos $Iso(X,d)$ % métricas $\rho$tal que

$\lim _{n \rightarrow \infty} \rho(h_n, h) =0 \iff \forall x \in X: \lim _{n \rightarrow \infty} d(h_n(x), h(x))=0$.

¿Me podría decir como demostrar que si tenemos una secuencia de $\rho$-Cauchy funciones $h_n \in Y$, tendremos cada $x\in X$, que $h_n(x)$ es una $d$-Cauchy secuencia de puntos de $X$?

Apenas estoy empezando estudiar topología, por lo que agradeceria su ayuda.

Answer 1

Parece que tengo un dibujo siguiente de la prueba. Por el Ejercicio 9.4 de [Kech], $\operatorname{Iso}(X)$ es
compacto en la topología de la convergencia uniforme y, por lo tanto, en una disminución en la topología de pointwise convergencia. Por el Teorema de la 4.3.28 de [Eng], todas las métricas en un espacio compacto es completo. Por lo tanto, una $\rho$-secuencia de Cauchy $\{h_n\}$ converge. Entonces por la propiedad de la métrica $\rho$ desde la segunda fila de la pregunta, para cada una de las $x\in X$, tenemos que una secuencia $\{h_n(x)\}$ $d$- Cauchy (incluso, $d$-convergente) y la secuencia de puntos de $X$.

Por supuesto, usted puede tratar de probar que hace referencia a los resultados directamente. Por ejemplo, para demostrar que $\operatorname{Iso}(X)$ es un compacto en la topología de pointwise convergencia es suficiente para mostrar que el $\operatorname{Iso}(X)$ es un subconjunto cerrado de la Tychonoff producto $X^X$. Probar que cada secuencia de Cauchy $\{h_n\}$ en un métrico compacto $Y$ es convergente es suficiente para mostrar que el $\{h_n\}$ tiene un clúster de punto de $h$, y, desde el espacio de $Y$ es la primera contables, no es convergente a $h$ subsequnce $\{h_{n_k}\}$ de la secuencia de $\{h_n\}$. Desde la secuencia de $\{h_n\}$ es de Cauchy, que converge a$h$. Por otra parte, atfter escribir la respuesta que he notado en una pregunta "Espacio métrico compacto grupo de $Iso(X,d)$ es también compacto", y traté de aclarar algunos detalles en mi respuesta allí.

Referencias

[Esp] Ryszard Engelking. Topología General (versión en ruso, 1986).

[Kech] Alexander S. Kechris. Clásica Descriptivo De La Teoría De Conjuntos , Springer, 1995.