Grupo isométrico generador de reflexiones

Question

Estaba leyendo un artículo y dice que toda isometría del modelo de medio plano superior del plano hiperbólico es una composición de reflexiones en líneas hiperbólicas, pero no parece explicar por qué esto es cierto. ¿Alguien podría ofrecer alguna idea? Gracias.

Answer 1

Una isometría $\phi:M\to N$ entre variedades riemannianas conectadas $M$ y $N$ está completamente determinada por su valor en un único punto $p$ y su diferencial en $d\phi_p$ .

Tome cualquier isometría $\phi$ de $\mathbb{H}^2$ . Conéctese a $i$ y $\phi(i)$ por una (única) geodésica más corta y que $C$ sea una bisectriz perpendicular de la geodésica de conexión. Entonces la reflexión $r_C$ a través de $C$ mapas $i$ a $\phi(i)$ . Ahora toma una base ortonormal $e_j$ en $i$ . Se asigna a $d\phi e_j\in T_{\phi(i)}\mathbb{H}^2$ . El álgebra lineal nos dice que en $T_{\phi(i)}\mathbb{H}^2$ podemos mapear $d\phi e_j$ a $dr_C e_j$ por una reflexión a través de una línea (si $\phi$ conserva la orientación) o por una rotación (si $\phi$ es de orientación inversa). Una rotación bidimensional puede escribirse como una composición de dos reflexiones.

Por el mapa exponencial, las líneas a través de las cuales estamos reflexionando se corresponden con geodésicas en $\mathbb{H}^2$ y las reflexiones se extienden a las reflexiones de $\mathbb{H}^2$ a través de esas geodésicas.

Por lo tanto, hemos escrito $\phi$ como una composición de reflexiones.

En algunos casos, por ejemplo en Thurston, Geometría y topología tridimensional el grupo de isometría de $\mathbb{H}^2$ es definido como el grupo generado por las reflexiones a través de los círculos (por ejemplo, en el modelo de Poincare). El capítulo dos de ese libro contiene una discusión de la geometría hiperbólica y ejercicios que comparan las diversas perspectivas de las isometrías, por ejemplo, como $$Sl(2;\mathbb{R}) = SO(1,1) = \mbox{Möbius transformations with real coefficients} = \langle\mbox{refl. across circles}\rangle.$$ También puede consultar el capítulo B (creo) de Benedetti y Petronio, Conferencias sobre geometría hiperbólica.

Answer 2

Referencia: Véase el apartado 4.3 "El teorema de las tres reflexiones" en Geometría de las superficies por John Stillwell.