Resolución de la ecuación funcional $2f(x) = f(2x)$

Question

$f(x)$ es un $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ función diferenciable que satisface la siguiente ecuación: $$2f(x) = f(2x).$$ ¿Puede demostrarse que $f(x) = kx$ para algunos $k$ ?

Tenga en cuenta que si $f(x)$ está en $\mathcal{C}^1$ se puede demostrar de la siguiente manera: $$g(x) := \bigg\{ \begin{array}{ll} f(x)/x & x \in \mathbb{R}\backslash\{0\} \\ \lim_{x\rightarrow0}f(x)/x = f'(0) &x=0 \end{array} \bigg. $$ es una función continua en $\mathbb{R}$ , satisfaciendo $$ g(\ln x) = g(\ln x^2) \text{ for } x\in(0,+\infty).$$ Por lo tanto, $\forall x \in(0,+\infty)$ $$ g(\ln x) = g(\ln x^{1/2}) = \lim_{n\rightarrow\infty}g(\ln x^{1/2^n}) = g(0),$$ lo que significa $g(x)$ es una constante y $f(x) = kx$ .

Answer 1

Sí, y tu prueba ya funciona: sólo utilizas la continuidad de $g$ a 0, lo que se cumple por la definición de $g$ sin necesidad de asumir $f \in \mathcal C^1$ .