$\gcd(a,\operatorname{lcm}(b,c))=\operatorname{lcm}(\gcd(a,b),\gcd(a,c))$

Question

Estoy tratando de mostrar que $\gcd(a,\operatorname{lcm}(b,c))=\operatorname{lcm}(\gcd(a,b),\gcd(a,c))$.

Si $d=\gcd(a,\operatorname{lcm}(b,c))$, $d=ax-my$ donde $m=\operatorname{lcm}(b,c)$. Así $d=ax-b(ky)$ $d=ax-c(ly)$ , lo que significa que $\gcd(a,b)|d$ $\gcd(a,c)|d$ o $d$ es un múltiplo común.

Pero yo no era capaz de demostrar que es el mínimo común múltiplo.

Answer 1

Ya que usted dice que usted no puede utilizar el simple min/max exponentes de la prueba a través de factorización única, aquí es una prueba de que sólo utiliza universal mcd leyes (así que funcionará en cualquier mcd de dominio). Nosotros simplemente eliminar todos los lcms por $\rm\:[x,y] = xy/(x,y),\:$ y aplicar mcd leyes (distributiva, conmutativa, asociativa, etc.).

$$\rm\begin{eqnarray} \rm &\rm\qquad\qquad (a,[b,c])\ &=&\rm\ [(a,b),(a,c)] \\ \rm \iff&\rm\qquad\quad \left(a,\dfrac{bc}{(b,c)}\right)\ & =&\rm\ \dfrac{(a,b)(a,c)}{(a,b,c)} \\ \iff &\rm (a,b,c)(a(b,c),bc)\ &=&\rm\ (a,b)(a,c)(b,c) \end{eqnarray}$$

lo cual es cierto ya que ambos lados $\rm = (aab,aac,abb,abc,acc,bbc,bcc)\:$ por distributividad etc.

Si no son competentes con mcd leyes, usted puede encontrar que es útil para reescribir la prueba empleando una más sugerente la notación aritmética, a saber, que denota el mcd $\rm (a,b)\:$ $\rm\ a \dot+ b.\:$ Debido a la aritmética de GCDs comparte muchas de las mismas leyes básicas de la aritmética de los números enteros, la prueba se hace mucho más intuitivo el uso de una notación para poner de relieve este común aritmética de la estructura. A continuación se muestra un ejemplo de cálculo de la comparación de las dos notaciones.

$$\rm\begin{eqnarray} \rm(a,\:b)\ (a,\:c) &=&\rm (a(a,\!\:c),b(a,\!\:c)) &=&\rm ((aa,ac),\:(ba,bc)) &=&\rm (aa,ac,\:\!ba,\:bc) \\ \rm\ (a\dot+ b)(a\dot+c) &=&\rm a(a\dot+c)\dot+b(a\dot+c) &=&\rm (aa\dot+ac)\dot+(ba\dot+bc) &=&\rm aa\dot+ac\dot+ba\dot+bc \end{eqnarray}$$

Answer 2

A ver si este post de PhysicsForums ayuda en todo, los dos problemas que parecen más o menos intercambiables.

http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=50060