Valor esperado del máximo de dos variables aleatorias con distribución exponencial

Question

Quiero encontrar el valor esperado de $\text{max}\{X,Y\}$ donde $X$ ist $\text{exp}(\lambda)$ -distribuido y $Y$ ist $\text{exp}(\eta)$ -distribuido. X e Y son independientes. He descubierto cómo hacer esto para el mínimo de $n$ variables, pero me cuesta hacerlo para 2 con el máximo.

(El contexto en el que se dio esto es la espera del último de dos trenes, con sus tiempos de llegada exp-distribuidos).

Gracias.

Answer 1

El mínimo de dos variables aleatorias exponenciales independientes con parámetros $\lambda$ y $\eta$ también es exponencial con parámetro $\lambda+\eta$ .

Aussi $\mathbb E\big[\min(X_1,X_2)+\max(X_1,X_2)\big]=\mathbb E\big[X_1+X_2\big]=\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\eta}$ . Porque $\mathbb E\big[\min(X_1,X_2)\big]=\frac{1}{\lambda+\eta}$ obtenemos $\mathbb E\big[\max(X_1,X_2)\big]=\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\eta}-\frac{1}{\lambda+\eta}.$

Answer 2

Dejemos que $V=\max\{X,Y\}$ . Entonces $$\mathbb{P}(V\leq t)=\mathbb{P}(X\leq t,Y\leq t)=\mathbb{P}(X\leq t)\mathbb{P}(Y\leq t).$$ Ahora encuentra $f_V(t)$ y luego $\int_{0}^{+\infty}tf_V(t)dt$ , que debería ser $\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\eta}-\frac{1}{\lambda+\eta}$ .

Answer 3

La muestra $(X,Y)$ tienen una densidad dada por $f_X(x)f_Y(y)$ desde $X$ y $Y$ son independientes. Hay que calcular $$\iint_{\Bbb R^2}\max\{x,y\}f_X(x)f_Y(y)dxdy.$$ Corta esta integral en dos partes.