Demuestre que el siguiente pdf no tiene memoria

Question

He estado pensando en esto alrededor de 2 semanas para el examen parcial. pero todavía no puedo probarlo.

Utilicé este $$ P(X > r+s | X > s) = P(X > r) = \mathrm e^{\lambda r}$$

$$P(X > r + s) / P(x >s ) = \mathrm e^{\lambda(r+s)} / \mathrm e^{\lambda s}$$

¿Podría darme alguna pista? ¿Cómo puedo probarlo? Gracias.

Answer 1

Primero lo hacemos para la variable aleatoria $X$ dotado de una distribución exponencial con parámetro $\lambda=1$ .

$$P(X>r+s\mid X>s)=\frac{P(X>r+s\wedge X>s)}{X>s}=\frac{P(X>r+s)}{X>s}=$$$$ \frac{e^{-r-s}}{e^{-s}}=e^{-r}=P(X>r)$$

Basándonos en este resultado podemos demostrar lo mismo para $Y:=\lambda X$ (o si lo desea $Y:=\lambda^{-1}X$ No hay ninguna diferencia esencial).

Esto por: $$P\left(Y>r+s\mid Y>s\right)=P\left(X>\frac{r}{\lambda}+\frac{s}{\lambda}\mid X>\frac{s}{\lambda}\right)=P\left(X>\frac{r}{\lambda}\right)=P\left(Y>r\right)$$

Ahora, date cuenta de que $Y$ tiene el pdf mencionado en su pregunta.

Para $x>0$ tenemos $F_X(x)=1-e^{-x}$ y en consecuencia $F_Y(x)=1-e^{-\frac{x}{\lambda}}$ para que $f_Y(x)=\frac1{\lambda}e^{-\frac{x}{\lambda}}$ .