Si $R=k[t,t^{-1}]$ es graduado anillo donde se $R_0=k$ es un campo y $t\in R$ es un elemento homogéneo de grado positivo que es trascendental$k$, ¿cómo puedo probar que cada graduado $R$-módulo libre?
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Xetius
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De una manera:
Graduado $H=k[t^{\pm1}]$-módulo de $M$ es la misma cosa como de Hopf $H$-módulo (por lo que es un $H$-módulo, y $H$-comodule, y ambas estructuras son compatibles). El Teorema Fundamental de Hopf módulos dice, entonces, que un animal es libre como un $H$-módulo.
La mejor referencia para este es, en mi opinión, Sweedler del libro [Sweedler, Moss E. álgebras de Hopf. Matemáticas De La Conferencia Nota De La Serie W. A. Benjamin, Inc., De nueva York de 1969 vii+336 pp. MR0252485]
Un sistema de baja tecnología manera:
Deje $M$ ser clasificada $k[t^{\pm1}]$-módulo, de modo que, en particular, $M=\bigoplus_{n\in\mathbb Z}M_i$ como un espacio vectorial. Para cada una de las $n\in\mathbb Z$ el mapa de $M_n\to M_{n+1}$ dado por la multiplicación por $t$ es lineal bijection, con inversa dada por la multiplicación por $t^{-1}$, por supuesto. De ello se desprende que para todos los $n\in\mathbb Z$ tenemos $M_n=t^nM_0$. Por otra parte, es fácil ver que el mapa de $k[t^{\pm1}]\otimes_k M_0\to M$ obtenido por la restricción de la multiplicación de mapa de $k[t^{\pm1}]\otimes_k M\to M$ a el subespacio $k[t^{\pm1}]\otimes_k M_0$ es de hecho un isomorfismo de $k[t^{\pm1}]$-módulos, si vemos su dominio como un $k[t^{\pm1}]$-módulo de una manera obvia. Pero esta evidente módulo es libre: cualquier base de $M_0$ da una base.
N. B.: Esto es, supongo, lo que la alta tecnología de la prueba de las cantidades que en esta situación concreta...
