Si, como parte de la prueba para demostrar implicación, supongamos que el antecedente, pero el antecedente es falso, en un caso específico, se puede ignorar que el caso?

Question

Por ejemplo. Decir que tengo un condicional

$$(\frac{x}{x-2} \leq 3 \ \land \ x \geq 2) \implies x \geq 3$$

entonces, claramente, al $x=2$, tengo un problema desde entonces mi fracción es indefinido.

Ahora, supongamos que quiero probar el de arriba implicación estrictamente por medio de una prueba directa. Que significa asumir el antecedente, y a partir de ahí tratando de demostrar que, lógicamente, conlleva el consecuente.

Sin embargo, si asumimos que el anterior antecedente $(\frac{x}{x-2} \leq 3 \ \land \ x \geq 2)$, entonces, ¿qué debo hacer con la $\geq$? Después de todo, esto significa $= \, or \, >$, y desde que estoy suponiendo que esto sea cierto (como parte de la gran conjunción de ser verdad), ¿cómo lidiar con el conflicto de mi antecedente de ser correcta, pero $x=2$ siendo imposible e incorrecto?

Es válida para mí decir "Porque en el caso de x=2, la fracción es indefinido, nuestra hipótesis se reduce a $(\frac{x}{x-2} \leq 3 \ \land \ x > 2)$" y, a continuación, ir a probar $(\frac{x}{x-2} \leq 3 \ \land \ x > 2)$?

Que de alguna manera se siente como hacer trampa, o al menos como dar algún tipo de vacío/irrelevante prueba, ya he reducido mi suposición (y, por extensión, mi implicación) a algo que estrictamente no lo era. Puede alguien arrojar algo de luz sobre esto?

Answer 1

Creo que, puesto que la cuantificación en $x$ está implícita, se puede asumir que la $x$ interesados son aquellos para los cuales las afirmaciones $\frac{x}{x-2}\leq 3$ $x\geq 2$ sentido simultáneamente, y lo que están tratando de demostrar que es más precisamente $$\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{2\},\frac{x}{x-2}\leq 3\,\wedge x\geq 2\implies x\geq 3.$$

Me recuerda a una pregunta que le hice de la misma naturaleza (aquí), con una buena respuesta de Juan M. Lee.

Answer 2

Usted dice $(\dfrac{x}{x-2}\leq 3~~ \wedge ~~x\geq 2 )\Rightarrow x\geq 3$. Así que cuando usted tiene el antecedente, se obtiene el consecuente. Pero, la cosa es que usted sólo tiene la primera desigualdad de la antecedente si $x \not =2$ si $x=2$ no se puede decir nada acerca de $\dfrac{x}{x-2}$, debido a que no está definido como un número real, por lo que no se puede comparar con la $\leq$$\Bbb{R}$. Desde $x \geq2$ fib ($x>2 ~~\vee~~x=2$) no hay ningún problema con la primera desigualdad estar satisfechos sólo cuando $x \not = 2$, debido a que el segundo inequaliuty todavía puede ser satisfecho (desde $\vee$, sólo se necesita uno para ser satisfecho). Por lo tanto, no hay ningún problema con la implicación.